Styczna
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/Styczna.png/300px-Styczna.png)
Prosta styczna do krzywej w punkcie to prosta, która jest granicznym położeniem siecznych przechodzących przez punkty i gdy punkt dąży (zbliża się) do punktu po krzywej [1].
Definicje i wzory
Niech punkt będzie rzutem punktu na oś i niech styczna przecina oś w punkcie zaś prosta będąca normalną do krzywej przecina oś w punkcie Odcinek skierowany nazywa się podstyczną, zaś odcinek skierowany – podnormalną. Długość nazywa się długością stycznej, zaś – długością normalnej.
Jeśli krzywa określona jest w pewnym przedziale funkcją ciągłą, która ma w tym przedziale określoną pierwszą pochodną to równanie siecznej przechodzącej przez punkt stały gdzie oraz punkt zmienny gdzie ma postać:
zaś równanie stycznej do tej krzywej w punkcie ma postać:
Wówczas odcięte punktów i są odpowiednio równe: :
Długość stycznej określa wówczas wzór:
zaś długość normalnej:
Mamy również
- podstyczna:
- podnormalna:
W podobny sposób definiuje się styczną do powierzchni w danym punkcie. Wystarczy wyznaczyć w powyższy sposób styczną do krzywej powstałej z przecięcia danej powierzchni z płaszczyzną zawierającą dany punkt.
Styczna do okręgu
W przypadku, gdy krzywa jest okręgiem, definicja stycznej upraszcza się do postaci: styczna do okręgu jest prostą mająca jeden (i tylko jeden) punkt wspólny z okręgiem. Konstruuje się ją jako prostą prostopadłą do promienia o końcu w punkcie styczności.
Twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/19/Najmtwgeom.jpg/300px-Najmtwgeom.jpg)
(również znane jako najmocniejsze twierdzenie geometrii[2][3][4])
Niech punkty i będą punktami styczności do okręgu dwóch prostych przecinających się w punkcie Wówczas
Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności z prostą jest prostopadły do tej prostej.
Kąt pomiędzy styczną a sieczną przechodzącą przez punkty styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku leżącym wewnątrz tego kąta.
Dowód (dla kąta ostrego): Wszystkie kąty wpisane oparte na tym łuku są równe, więc wystarczy rozważyć taki, którego jednym z ramion jest średnica. Wówczas ponieważ kąt wpisany oparty na półkolu jest prosty, a suma kątów w trójkącie równa kąt między sieczną i średnicą jest mniejszy od o kąt między styczną i sieczną. Zatem z prostopadłości średnicy wynika teza.
Zobacz też
![]() | Zobacz hasło styczna w Wikisłowniku |
- metoda stycznych
- wektor styczny do krzywej i powierzchni
Przypisy
- ↑ styczna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-04] .
- ↑ 1d. O Najmocniejszym Twierdzeniu Geometrii – II Lic, maturzyści | MiNI Akademia Matematyki [online], akademia.mini.pw.edu.pl [dostęp 2017-11-26] (pol.).
- ↑ 1010k21.dvi [online], sem.edu.pl [dostęp 2024-04-26] .
- ↑ Serwis Biura Edukacji m.st. Warszawy.
- p
- d
- e
relacje między |
| ||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
figury definiowane okręgami |
| ||||||||||||
twierdzenia |
| ||||||||||||
problemy (zadania) |
| ||||||||||||
okręgi w kartezjańskim układzie współrzędnych | |||||||||||||
narzędzia | |||||||||||||
inne pojęcia | |||||||||||||
uogólnienia |
|
- p
- d
- e
pojęcia ogólne | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji | |||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi | |||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa | |||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |
- Britannica: topic/tangent-of-a-curve
- Treccani: tangente
- Catalana: 0239759