Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej
Twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej – twierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące o zerowaniu się pochodnej funkcji różniczkowalnej osiągającej maksimum lub minimum w punkcie wewnętrznym przedziału.
Definicja
Ustalmy
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie oraz lub to
Dowód
Aby udowodnić to twierdzenie należy rozpatrzeć wartość granicy prawostronnej i lewostronnej ilorazu różnicowego. Funkcja z założenia jest różniczkowalna w punkcie więc granice jednostronne są sobie równe.
Dowód w przypadku, gdy = max
Ponieważ
więc
i korzystając z twierdzenia o zachowaniu słabej nierówności dla funkcji
Podobnie wykazujemy
Pochodne jednostronne są sobie równe. Ponieważ więc
Przypadku, gdy = min dowodzi się analogicznie.
Zastosowanie
Twierdzenie o zerowaniu się pochodnej jest używane między innymi przy dowodzie twierdzenia Rolle’a.
Bibliografia
- Jakub Wyrostek: Uzupełnienie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej. [dostęp 2016-01-07]. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-01-07)]. (pol.).
- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Ryszard Bittner, Bolesław Gleichgewicht, Tadeusz Huskowski (tłum.). Wyd. XII. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, s. 549. ISBN 978-83-01-02175-7. OCLC 749565830.
- Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Analiza matematyczna 1: definicje, twierdzenia, wzory. Wyd. XXIV zmienione. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2015, s. 166, seria: Matematyka dla Studentów Politechnik. ISBN 978-83-62780-30-3. OCLC 932191224.
Linki zewnętrzne
Fermat theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-02-07].
- p
- d
- e
pojęcia ogólne |
| ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji |
| ||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi | |||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa | |||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |