Funkcja regularna
Funkcja regularna – wieloznaczny termin matematyczny, używany w analizie i geometrii algebraicznej[1].
Analiza rzeczywista
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b4/Non-analytic_smooth_function.png/220px-Non-analytic_smooth_function.png)
Definicja
Funkcja regularna to funkcja różniczkowalna określoną liczbę razy. Dokładniej:
Niech będzie dana funkcja gdzie oraz
Funkcję nazywamy funkcją regularną rzędu na jeżeli:
- wszystkie pochodne cząstkowe funkcji do rzędu włącznie istnieją w całej dziedzinie
- pochodne te są ciągłe w całej dziedzinie
Mówimy też, że funkcja jest klasy i piszemy
Regularność oznacza, że funkcja jest ciągła. Funkcję nazywa się funkcją gładką; jest ona dowolnie wysokiej regularności, to znaczy istnieją pochodne wszystkich rzędów[2][3]. Ponadto dla klasy funkcji analitycznych stosuje się oznaczenie
Niektórzy autorzy używają innych, słabszych definicji. Czasem funkcje regularne definiuje się szerzej – wystarczy, że pochodna funkcji jest ciągła przedziałami, a gładkość to pełna ciągłość pochodnej[4].
Przykłady
- Funkcja gdzie oznacza wartość bezwzględną, jest ciągła w każdym punkcie dziedziny rzeczywistej jednak pochodna nie istnieje, więc jest klasy
- Funkcja:
ma pochodną określoną w całej dziedzinie rzeczywistej ale pochodna nie jest ciągła; zatem jest klasy - Funkcja jest różniczkowalna dowolnie wiele razy. Zatem czyli jest gładka.
Analiza zespolona
Funkcja regularna to funkcja analityczna i jednoznaczna na jakimś obszarze[5][6].
Przypisy
- ↑ Jurkiewicz 1995 ↓, s. 672.
- ↑ Krych 2010 ↓, s. 231.
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., C^infty Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-23].
- ↑ Smoluk 2017 ↓, s. 91.
- ↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Regular Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-23].
- ↑
Regular function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-23].
Bibliografia
- Jerzy Jurkiewicz: Geometria algebraiczna [w:] Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995. ISBN 83-214-0783-8.
- Michał Krych: Analiza matematyczna dla ekonomistów. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-235-0776-5.
- Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Smooth Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-23].
- p
- d
- e
pojęcia ogólne | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji | |||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi |
| ||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa | |||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |