Pochodna cząstkowa
Pochodna cząstkowa – dla danej funkcji wielu zmiennych pochodna względem jednej z jej zmiennych przy ustaleniu pozostałych (w przeciwieństwie do pochodnej zupełnej, w której zmieniać się mogą wszystkie zmienne). Pochodne cząstkowe znajdują zastosowanie np. w rachunku wektorowym oraz geometrii różniczkowej.
Pochodne cząstkowe funkcji względem zmiennej oznacza się symbolami
Symbol pochodnej cząstkowej ∂[a] ma wygląd zaokrąglonej litery „d”.
Historia
Pochodne cząstkowe nie wywodzą, jak można przypuszczać, z funkcji wielu zmiennych, ale były efektem badań rodziny krzywych zależnych od badanego parametru. Leibniz w 1692 roku, rozwiązał problem obwiedni dla rodziny krzywych pokazując, że można usunąć z równania uzyskując (używając współczesnej notacji[1]).
Współczesna notacja, użyta została po raz pierwszy przez Adriena-Marie Legendre’a, stała się powszechna po jej ponownym wprowadzeniu przez Carla Gustava Jakoba Jacobiego; z tej przyczyny bywa określana jako „delta Jacobiego”[2].
Wprowadzenie
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6e/Grafico_3d_x2%2Bxy%2By2.png/220px-Grafico_3d_x2%2Bxy%2By2.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/X2%2Bx%2B1.png/220px-X2%2Bx%2B1.png)
Niech będzie funkcją więcej niż jednej zmiennej. Przykładowo
Wykres tej funkcji określa powierzchnię w przestrzeni euklidesowej. Istnieje nieskończenie wiele stycznych do każdego punktu tej powierzchni. Różniczkowanie cząstkowe polega na wybraniu jednej z tych prostych i uzyskaniu jej nachylenia. Zwykle najbardziej interesujące są proste, które są równoległe do płaszczyzny czy
Aby znaleźć nachylenie prostej stycznej do funkcji w która jest równoległa do płaszczyzny należy traktować zmienną jak stałą. Wykres i wspomnianą płaszczyznę przedstawiono na rys. 1. Z kolei rys. 2. przedstawia wykres funkcji na płaszczyźnie Szukając pochodnej wspomnianego równania przy założeniu, że jest stała, uzyskuje się nachylenie funkcji w punkcie którym jest
W ten sposób okazuje się, poprzez podstawienie, że nachylenie w punkcie wynosi Dlatego
w punkcie Innymi słowy pochodna cząstkowa względem w punkcie jest równa
Definicja
Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej i dane będą punkt oraz funkcja
Jeżeli istnieje skończona granica
to nazywa się ją pochodną cząstkową funkcji w punkcie względem zmiennej i oznacza jednym z wyżej wymienionych symboli.
Związek z pochodną zupełną
Jeżeli oznaczyć to
jest po prostu pochodną funkcji
Na przykład dla funkcji
można obliczyć pochodne cząstkowe względem zmiennych i
Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów oblicza się, różniczkując znów po dowolnych zmiennych. Pochodne wyższych rzędów obliczane względem zmiennych różnych niż wybrana początkowo są znane jako pochodne mieszane[3].
Pochodne czyste
i pochodne mieszane (różniczkowania zależnie od umowy należy wykonywać, tak jak w tym artykule, od lewej strony do prawej; bądź też, podobnie jak przy składaniu funkcji, od prawej do lewej)
Uogólnione twierdzenie Schwarza mówi, że jeśli wszystkie pochodne mieszane względem pewnych zmiennych są ciągłe w danym punkcie, ich wartość zależy wyłącznie od tego, względem których zmiennych różniczkujemy i ilekrotnie, natomiast nie zależy od kolejności w jakiej przeprowadza się różniczkowania.
Liczbę zastosowanych różniczkowań nazywamy rzędem pochodnej cząstkowej. Na przykład
jest pochodną rzędu
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów zapisuje się także z użyciem notacji wielowskaźnikowej. Wtedy przez gdzie jest wielowskaźnikiem rozumie się
Rząd tej pochodnej cząstkowej wynosi oczywiście
Zobacz też
- dywergencja, rotacja
- gradient
- macierz Jacobiego
- operator Laplace’a
- operator d’Alemberta
- pochodna kierunkowa
- pochodna zewnętrzna
- pochodna zupełna
Uwagi
Przypisy
- ↑ Jahnke 2003 ↓, s. 109.
- ↑ Jeff Miller: Earliest Uses of Symbols of Calculus. jeff560.tripod.com, 2009-06-14. [dostęp 2016-02-09]. (ang.).
- ↑ pochodna funkcji, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-02-18] .
Bibliografia
- Witold Pogorzelski: Analiza matematyczna. T. II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1953, s. 10.
- Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
- p
- d
- e
pojęcia ogólne | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
pochodne funkcji | |||||||
typy funkcji definiowane pochodnymi | |||||||
punkty w dziedzinie definiowane pochodnymi |
| ||||||
analiza wielowymiarowa |
| ||||||
twierdzenia o funkcjach |
| ||||||
badacze według daty narodzin |
| ||||||
inne wątki historyczne |
- GND: 4454857-6
- Britannica: topic/partial-derivative