Funkcja harmoniczna

Funkcja harmoniczna – funkcja rzeczywista ${\displaystyle u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ zmiennych ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$, której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie, spełniająca równanie różniczkowe Laplace’a^[1]:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}=0}$

lub, w zapisie symbolicznym

${\displaystyle \Delta u=0}$

gdzie ${\displaystyle \Delta }$ jest operatorem Laplace’a.

Poniżej piszemy ${\displaystyle A\Subset \Omega ,}$ gdy ${\displaystyle {\overline {A}}\subseteq \Omega }$ oraz oznaczamy ${\displaystyle B^{n}(x,r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ kulę środku ${\displaystyle x}$ i promieniu ${\displaystyle r,}$ a ${\displaystyle S^{n-1}(x,r)\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ oznaczamy przez ${\displaystyle |{\mathcal {A}}|.}$

Termin „harmoniczny” w nazwie funkcja harmoniczna pochodzi opisu ruchu punktu na napiętej strunie - ruch ten jest ruchem harmonicznym (a rozwiązanie równania różniczkowego dla tego ruchu można zapisać w postaci sinusów i cosinusów, czyli funkcji określanych jako harmoniczne). Dalszy rozwój w postaci analizy Fouriera polegał na rozszerzeniu funkcji zdefiniowanych dla ruchu na okręgu jednostkowym na szeregi tych harmonicznych, określone na dowolnym podzbiorze zbioru liczb rzeczywistych. Zaś biorąc pod uwagę wyżej wymiarowe analogie harmonicznych na jednostce n-sfery, dochodzi się do harmonicznych sferycznych. Funkcje te spełniają równanie Laplace'a i z biegiem czasu termin „harmoniczna” był używany w odniesieniu do wszystkich funkcji spełniających równanie Laplace'a.

Funkcję ${\displaystyle u}$ nazywamy subharmoniczną, gdy ${\displaystyle \Delta u\geqslant 0}$ oraz superharmoniczną, gdy ${\displaystyle \Delta u\leqslant 0.}$

Niech ${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega ),x\in \Omega ,r>0,B(x,r)\Subset \Omega }$ oraz ${\displaystyle u}$ harmoniczna w ${\displaystyle \Omega .}$ Wówczas:

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{|S^{n-1}(x,r)|}}\int _{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma (z)},}$

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{|B^{n-1}(x,r)|}}\int _{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}.}$

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

${\displaystyle u(x)\leqslant {\frac {1}{|S^{n-1}(x,r)|}}\int _{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma (z)},}$

${\displaystyle u(x)\leqslant {\frac {1}{|B^{n-1}(x,r)|}}\int _{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}.}$

Niech ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ będzie otwarty, ograniczony i spójny, ${\displaystyle u\in C^{2}(\Omega )}$ oraz u subharmoniczna w ${\displaystyle \Omega .}$ Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie ${\displaystyle x_{0}\in \Omega ,}$ tj. ${\displaystyle \sup _{x\in \Omega }{u(x)}=u(x_{0})=M.}$ Wówczas ${\displaystyle u(x)\equiv M}$ dla każdego ${\displaystyle x\in \Omega .}$

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu ${\displaystyle \Omega .}$ Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych – nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru ${\displaystyle \Omega .}$

Funkcję ${\displaystyle u\colon {\mathcal {U}}\to \mathbb {R} }$ nazywamy subharmoniczną, gdy dla każdej kuli ${\displaystyle B\Subset {\mathcal {U}}}$ i każdej funkcji harmonicznej ${\displaystyle h\colon B\to \mathbb {R} }$ ciągłej na ${\displaystyle {\overline {B}}}$ i takiej, że ${\displaystyle u\vert _{\partial B}\leqslant h\vert _{\partial B}}$ spełnione jest ${\displaystyle u\leqslant h}$ na całej kuli ${\displaystyle B.}$

Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy ${\displaystyle C^{2}}$ obie definicje są równoważne.

Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:

${\displaystyle \Gamma (x-y)={\begin{cases}{\frac {1}{(2-n)|S^{n-1}(0,1)|}}|x-y|^{2-n}&n>2\\{\frac {1}{2\pi }}{\log {|x-y|}}&n=2\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle n}$ oznacza wymiar przestrzeni. Dla ${\displaystyle x\neq y}$ mamy ${\displaystyle \Delta \Gamma (x-y)=0.}$

• nierówność Harnacka
• równanie Poissona
• twierdzenie Harnacka

• Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002, Warszawa.
• Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, Łódź.