Twierdzenia Sylowa
Twierdzenia Sylowa – twierdzenia teorii grup autorstwa Petera Sylowa[1] , czasem formułowane jako jedno twierdzenie Sylowa. Wynik ten jest częściowym odwróceniem twierdzenia Lagrange’a (rząd podgrupy jest dzielnikiem rzędu danej grupy), a zarazem uogólnieniem twierdzenia Cauchy’ego (o istnieniu podgrupy rzędu będącego liczbą pierwszą dzielącym rząd danej grupy).
Twierdzenia
Zobacz też: p-grupa.
Niech będzie liczbą pierwszą, która ponadto jest względnie pierwsza z liczbą naturalną (tzn. największy wspólny dzielnik ). Niech będzie grupą rzędu gdzie jest pewną nieujemną liczbą całkowitą; dowolną jej podgrupę rzędu gdzie nazywa się -podgrupą tej grupy, przy czym podgrupy rzędu nazywane są -podgrupami Sylowa.
- Pierwsze twierdzenie Sylowa
- W grupie istnieje (co najmniej jedna) -podgrupa Sylowa.
- Drugie twierdzenie Sylowa
- Wszystkie -podgrupy Sylowa grupy są sprzężone, tzn. dla dowolnych -podgrup Sylowa grupy istnieje taki automorfizm wewnętrzny tej grupy (), że
- Trzecie twierdzenie Sylowa
- Liczba wszystkich -podgrup Sylowa grupy przystaje do jedynki modulo tzn. (czyli jest dzielnikiem tj. ).
Wnioski
Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że -podgrupa Sylowa jest jej maksymalną (w sensie zawierania) -podgrupą, a jej indeks równy nie jest podzielny przez innymi słowy Z drugiego twierdzenia wynika, że warunek jest równoważny normalności (a nawet charakterystyczności) -podgrupy Sylowa[a]. Z pierwszego i drugiego twierdzenia Sylowa wynika, że jeżeli jest -podgrupą Sylowa w zaś jest -podgrupą normalną w to istnieje taki element dla którego jest podgrupą normalną w
Jeżeli jest dzielnikiem rzędu grupy to w grupie tej istnieje element rzędu (tzw. twierdzenie Cauchy’ego); ponadto dzieli wtedy Jeżeli każdy element ma rząd postaci to jest -grupą. Jeśli oraz gdzie są pewnymi liczbami pierwszymi, to w istnieje podgrupa normalna rzędu jeżeli nie dzieli ponadto to grupa jest cykliczna. W szczególności jeśli nie dzieli oraz nie dzieli to jedyną grupą rzędu jest suma prosta grup cyklicznych o rzędach i
Przykłady
Niech będzie grupą rzędu Z twierdzeń Sylowa wynika, że grupa zawiera -podgrupę rzędu (przynajmniej jedną), a ponadto oraz skąd wynika, że i normalność Podobnie oraz skąd -podgrupa Sylowa rzędu grupy również jest normalna. Obie te podgrupy są cykliczne (a stąd przemienne), zaś ich suma prosta jest izomorficzna z co oznacza, że również jest przemienna i jest jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą rzędu W podobny sposób można dokonać klasyfikacji grup rzędu [2].
Rozumując w analogiczny sposób można dowieść, że jedynymi grupami rzędu (z dokładnością do izomorfizmu) są grupa cykliczna oraz grupa symetryczna
Uwagi
- ↑ Przykładem grupy, która ma podgrupy normalne niebędące podgrupami Sylowa, jest np. grupa symetryczna
Przypisy
- ↑ Sylow 1872 ↓.
- ↑ James S. Milne: Group Theory. s. 81.
Bibliografia
- Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1972, s. 31-33.
- Jerzy Browkin: Teoria reprezentacji grup skończonych. Warszawa: PWN, 2010, s. 14-15. ISBN 978-83-01-16051-7.
- Czesław Bagiński: Wstęp do teorii grup. Warszawa: Script, 2002, s. 89-96. ISBN 83-904564-9-4.
- Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: PWN, 1989, s. 107-108. ISBN 83-01-08736-6.
- Jean-Pierre Serre: Reprezentacje liniowe grup skończonych. Warszawa: PWN, 1988, s. 88-89. ISBN 83-01-07908-8.
Dowody
- Peter Ludwig Mejdell Sylow. Théorèmes sur les groupes de substitutions. „Math. Ann.”. 5 (4), s. 584-594, 1872. DOI: 10.1007/BF01442913. (fr.).
- Giuseppina Casadio, Guido Zappa. History of the Sylow theorem and its proofs. „Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche”. 10 (1), s. 29–75, 1990. ISSN 0392-4432. MR1096350. (wł.).
- Rod Gow. Sylow's proof of Sylow's theorem. „Irish Mathematical Society Bulletin”, s. 55–63, 1994. ISSN 0791-5578. MR1313412.
- Florian Kammüller, Lawrence C. Paulson. A formal proof of Sylow's theorem. An experiment in abstract algebra with Isabelle HOL. „Journal of Automated Reasoning”. 23 (3), s. 235–264, 1999. DOI: 10.1023/A:1006269330992. ISSN 0168-7433. MR1721912.
- Michael Meo. The mathematical life of Cauchy's group theorem. „Historia Math.”. 31 (2), s. 196–221, 2004. DOI: 10.1016/S0315-0860(03)00003-X. ISSN 0315-0860. MR2055642.
- Winfried Scharlau. Die Entdeckung der Sylow-Sätze. „Historia Math.”. 15 (1), s. 40–52, 1988. DOI: 10.1016/0315-0860(88)90048-1. ISSN 0315-0860. MR931678. (niem.).
- William C. Waterhouse. The early proofs of Sylow's theorem. „Archive for History of Exact Sciences”. 21 (3), s. 279–290, 1980. DOI: 10.1007/BF00327877. ISSN 0003-9519. MR575718.
- Helmut Wielandt. Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen. „Archiv der Mathematik”. 10 (1), s. 401–402, 1959. DOI: 10.1007/BF01240818. ISSN 0003-9268. MR0147529. (niem.).
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sylow Theorems, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-10].
Sylow theorems (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2023-08-10].
- p
- d
- e
podstawy |
| ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
przykłady |
| ||||||||
homomorfizmy | |||||||||
podgrupy |
| ||||||||
dalsze pojęcia |
| ||||||||
rodzaje grup |
| ||||||||
twierdzenia o grupach |
| ||||||||
grupy z dodatkowymi strukturami | |||||||||
uogólnienia | |||||||||
uczeni według daty narodzin |
|