Podgrupa Frattiniego

Podgrupa Frattiniego – część wspólna wszystkich maksymalnych podgrup danej grupy. W przypadku gdy dana grupa nie posiada podgrup maksymalnych, jest ona równa swojej podgrupie Frattiniego. Często stosuje się równoznaczną definicję tej podgrupy jako zbioru elementów niegenerujących.

Niech ${\displaystyle G}$ będzie grupą. ${\displaystyle H}$ jest podgrupą maksymalną ${\displaystyle G}$ jeśli nie istnieje taka grupa ${\displaystyle H',}$ że ${\displaystyle H<H'<G.}$ Podgrupą Frattiniego ${\displaystyle \Phi (G)}$ nazywamy część wspólną wszystkich podgrup maksymalnych ${\displaystyle G.}$

Niech ${\displaystyle S}$ będzie zbiorem wszystkich elementów niegenerujących w ${\displaystyle G,}$ tj. takich ${\displaystyle x\in G,}$ że jeżeli pozdzbiór ${\displaystyle M\subset G}$ zawierający ${\displaystyle x}$ generuje ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle M\backslash \{x\}}$ też generuje ${\displaystyle G.}$ Wówczas zbiór ${\displaystyle S}$ pokrywa się z ${\displaystyle \Phi (G).}$

Dowód

• ${\displaystyle S\subseteq \Phi (G).}$

Jeśli ${\displaystyle G}$ nie zawiera podgrup maksymalnych – inkluzja jest oczywista. Niech ${\displaystyle x\in S.}$ Niech ${\displaystyle H}$ będzie podgrupą maksymalną. Jeśli ${\displaystyle x\notin H}$ to ${\displaystyle (x,H)=G}$ (${\displaystyle H}$ jest podgrupą maksymalną nie zawierającą ${\displaystyle x,}$ zatem wspólnie generują całą przestrzeń). Ale ${\displaystyle (H)\neq G}$ co stoi w sprzeczności z tym, że ${\displaystyle x}$ jest elementem niegenerującym. Czyli ${\displaystyle x}$ musi należeć do każdej podgrupy maksymalnej. Stąd ${\displaystyle x\in \Phi (G).}$

• ${\displaystyle \Phi (G)\subseteq S}$

Niech istnieje element ${\displaystyle x\in \Phi (G)}$ który wraz z pewnym zbiorem ${\displaystyle M}$ generuje ${\displaystyle G,}$ lecz ${\displaystyle (M)\neq G.}$ Na mocy Lematu Kuratowskiego-Zorna istnieją podgrupy ${\displaystyle H}$ maksymalne wśród podgrup zawierających ${\displaystyle M}$ i niezawierających ${\displaystyle x.}$ Jest jasne, że wszystkie takie podgrupy są po prostu maksymalne, lecz wówczas zawierają one ${\displaystyle \Phi (G),}$ a wraz z nią element ${\displaystyle x}$ co stoi w sprzeczności z konstrukcją.

• W grupie ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ wszystkie podgrupy ${\displaystyle (p)}$ generowane przez liczbę pierwszą ${\displaystyle p}$ są maksymalne. Zatem ${\displaystyle \Phi (\mathbb {Z} )=\{0\}.}$
• W grupie ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ wszystkie elementy są niegenerujące, dlatego ${\displaystyle \Phi (\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} .}$

• Michaił Iwanowicz Kargapołow, Jurij Iwanowicz Mierzlakow: Podstawy teorii grup. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 24–25.