Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)

In teoria dei gruppi, il teorema di Lagrange è un teorema basilare nello studio dei gruppi finiti. Afferma che l'ordine (cioè il numero di elementi) di un sottogruppo di un gruppo finito è un divisore dell'ordine del gruppo.

Prende il nome da Joseph-Louis Lagrange.

La prima parte della dimostrazione si applica a qualsiasi gruppo ${\displaystyle G}$ e a un suo sottogruppo ${\displaystyle H}$. Si considera l'insieme

${\displaystyle \{aH:a\in G\}}$

delle classi laterali (sinistre)

${\displaystyle aH=\{ah:h\in H\}}$

di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$; questo forma una partizione di ${\displaystyle G}$, ovvero ${\displaystyle G}$ è unione delle classi laterali, e due classi laterali distinte non hanno elementi in comune. Inoltre per ogni ${\displaystyle a\in G}$ la funzione ${\displaystyle H\to aH}$ che manda ${\displaystyle h\in H}$ in ${\displaystyle ah}$ è una biezione.

Nel caso in cui ${\displaystyle G}$ sia finito, ogni classe laterale ha dunque ordine eguale all'ordine ${\displaystyle |H|}$ di ${\displaystyle H}$. Se si denota con ${\displaystyle [G:H]}$ l'indice di ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ (ovvero il numero di classi laterali distinte) si ha quindi

${\displaystyle |G|=|H|\cdot [G:H].}$

In particolare, l'ordine ${\displaystyle |H|}$ di ${\displaystyle H}$ divide l'ordine ${\displaystyle |G|}$ di ${\displaystyle G}$.

Dal teorema di Lagrange segue che, se ${\displaystyle G}$ è un gruppo finito, l'ordine di ogni suo elemento ${\displaystyle a}$ (ovvero il più piccolo intero positivo ${\displaystyle m}$ tale che ${\displaystyle a^{m}}$ sia l'identità) divide l'ordine di ${\displaystyle G}$: questo segue dal fatto che l'ordine di ${\displaystyle a}$ coincide con l'ordine del sottogruppo ciclico generato da ${\displaystyle a}$. Un'altra conseguenza è che, se l'ordine di un gruppo è un numero primo, allora esso è ciclico, generato da un qualsiasi elemento diverso dall'identità. Più in generale, il teorema è un primo passo nello studio della struttura dei gruppi finiti.

Un ulteriore corollario del teorema è che per ogni ${\displaystyle a\in G}$ vale ${\displaystyle a^{|G|}=e}$, dove ${\displaystyle e}$ indica l'identità in ${\displaystyle G}$. Esso si traduce nel piccolo teorema di Fermat se ${\displaystyle p}$ è un primo e ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /{p\mathbb {Z} })^{*}}$, il gruppo moltiplicativo degli interi invertibili modulo ${\displaystyle p}$, nel teorema di Eulero-Fermat se ${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /{m\mathbb {Z} })^{*}}$, con ${\displaystyle m}$ un intero qualsiasi.

In generale, l'inverso del teorema di Lagrange non vale; ovvero, se ${\displaystyle m}$ è un intero positivo che divide l'ordine di ${\displaystyle G}$, non è detto che ${\displaystyle G}$ abbia un sottogruppo di ordine ${\displaystyle m}$. Per esempio, il gruppo alterno ${\displaystyle A_{4}}$ ha ordine 12, ma non ha sottogruppi di ordine 6. Lo stesso vale per ogni gruppo semplice finito di ordine ${\displaystyle 2n}$ pari: infatti, un sottogruppo di ordine ${\displaystyle n}$ sarebbe normale, contro l'ipotesi che il gruppo è semplice.

L'inverso vale però se ${\displaystyle m}$ è la potenza di un primo: questo risultato è uno dei teoremi di Sylow. Un altro caso in cui il teorema di Lagrange si inverte è quando il gruppo ${\displaystyle G}$ è abeliano o, più in generale, quando è nilpotente. Nel caso abeliano, grazie al teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati, si può dimostrare che esiste sempre un sottogruppo di ogni ordine possibile (ossia deve dividere l'ordine del gruppo).

• Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9.
• I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7.

• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Lagrange, su MathWorld, Wolfram Research.

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