Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)
In teoria dei gruppi, il teorema di Lagrange è un teorema basilare nello studio dei gruppi finiti. Afferma che l'ordine (cioè il numero di elementi) di un sottogruppo di un gruppo finito è un divisore dell'ordine del gruppo.
Prende il nome da Joseph-Louis Lagrange.
Dimostrazione
La prima parte della dimostrazione si applica a qualsiasi gruppo e a un suo sottogruppo . Si considera l'insieme
delle classi laterali (sinistre)
di in ; questo forma una partizione di , ovvero è unione delle classi laterali, e due classi laterali distinte non hanno elementi in comune. Inoltre per ogni la funzione che manda in è una biezione.
Nel caso in cui sia finito, ogni classe laterale ha dunque ordine eguale all'ordine di . Se si denota con l'indice di in (ovvero il numero di classi laterali distinte) si ha quindi
In particolare, l'ordine di divide l'ordine di .
Conseguenze
Dal teorema di Lagrange segue che, se è un gruppo finito, l'ordine di ogni suo elemento (ovvero il più piccolo intero positivo tale che sia l'identità) divide l'ordine di : questo segue dal fatto che l'ordine di coincide con l'ordine del sottogruppo ciclico generato da . Un'altra conseguenza è che, se l'ordine di un gruppo è un numero primo, allora esso è ciclico, generato da un qualsiasi elemento diverso dall'identità. Più in generale, il teorema è un primo passo nello studio della struttura dei gruppi finiti.
Un ulteriore corollario del teorema è che per ogni vale , dove indica l'identità in . Esso si traduce nel piccolo teorema di Fermat se è un primo e , il gruppo moltiplicativo degli interi invertibili modulo , nel teorema di Eulero-Fermat se , con un intero qualsiasi.
Viceversa
In generale, l'inverso del teorema di Lagrange non vale; ovvero, se è un intero positivo che divide l'ordine di , non è detto che abbia un sottogruppo di ordine . Per esempio, il gruppo alterno ha ordine 12, ma non ha sottogruppi di ordine 6. Lo stesso vale per ogni gruppo semplice finito di ordine pari: infatti, un sottogruppo di ordine sarebbe normale, contro l'ipotesi che il gruppo è semplice.
L'inverso vale però se è la potenza di un primo: questo risultato è uno dei teoremi di Sylow. Un altro caso in cui il teorema di Lagrange si inverte è quando il gruppo è abeliano o, più in generale, quando è nilpotente. Nel caso abeliano, grazie al teorema di struttura per i gruppi abeliani finitamente generati, si può dimostrare che esiste sempre un sottogruppo di ogni ordine possibile (ossia deve dividere l'ordine del gruppo).
Bibliografia
- Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9.
- I. N. Herstein, Algebra, Editori Riuniti, 2010, ISBN 978-88-6473-210-7.
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Teorema di Lagrange, su MathWorld, Wolfram Research.
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