Automorfismo esterno

Niente fonti!
Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

In matematica si dice automorfismo esterno un automorfismo che non è un automorfismo interno, ovvero tale che non esiste alcun elemento del gruppo che possa indurre per coniugio l'automorfismo. Gli automorfismi esterni si possono ottenere come quoziente del gruppo degli automorfismi rispetto al sottogruppo normale degli automorfismi interni.

Automorfismi esterni per V 4 {\displaystyle \operatorname {V_{4}} }

L'esempio classico è quello del gruppo di Klein V 4 {\displaystyle \operatorname {V_{4}} } , isomorfo a Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} che essendo abeliano non ha automorfismi interni non banali. Ci sono però cinque automorfismi esterni non banali: le permutazioni del gruppo simmetrico sui tre oggetti diversi dall'identità. Uno di questi automorfismi ad esempio agisce in questo modo

a ↦ a , b ↦ c , c ↦ b . {\displaystyle a\mapsto a,\qquad b\mapsto c,\qquad c\mapsto b.}

Automorfismi esterni per un gruppo ciclico C n {\displaystyle \operatorname {C_{n}} }

In un gruppo ciclico con n {\displaystyle n} elementi ci sono φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} generatori ed un automorfismo diverso dall'identità è necessariamente esterno (per l'abelianità del gruppo) ed è completamente determinato stabilendo l'immagine di un generatore. Ma allora il gruppo degli automorfismi di un gruppo ciclico di ordine n {\displaystyle n} ha ordine φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} (dove φ {\displaystyle \varphi } è la funzione φ di Eulero).

Automorfismi esterni per un gruppo simmetrico S n {\displaystyle \operatorname {S_{n}} }

Nel gruppo simmetrico su n {\displaystyle n} oggetti, se n {\displaystyle n} è diverso da 6 {\displaystyle 6} , gli automorfismi sono solo interni.

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Automorfismo esterno, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica