Nombre premier de Wall-Sun-Sun

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, un nombre premier de Wall-Sun-Sun est un nombre premier p tel que

p 2 d i v i s e F ( p − ( p 5 ) ) , {\displaystyle p^{2}\quad {\rm {divise}}\quad F(p-\left({\tfrac {p}{5}}\right)),}

où F(n) est le n-ième nombre de Fibonacci et où ( a b ) {\displaystyle \left({\tfrac {a}{b}}\right)} est le symbole de Legendre de a et b.

On ignore s'il existe de tels nombres. Ils sont ainsi nommés en l'honneur des mathématiciens D. D. Wall, Zhi Hong Sun et Zhi Wei Sun.

Histoire

Dans une étude de la période de Pisano k ( p ) {\displaystyle k(p)} pubiée en 1960, Donald Dines Wall détermina qu'il n'existe aucun nombre premier de Wall-Sun-Sun inférieur à 10 000[1] :

« The most perplexing problem we have met in this study concerns the hypothesis k ( p 2 ) ≠ k ( p ) {\displaystyle k(p^{2})\neq k(p)} . We have run a test on digital computer which shows that k ( p 2 ) ≠ k ( p ) {\displaystyle k(p^{2})\neq k(p)} for all p {\displaystyle p} up to 10000 {\displaystyle 10000} ; however, we cannot prove that k ( p 2 ) = k ( p ) {\displaystyle k(p^{2})=k(p)} is impossible. The question is closely related to another one, "can a number x {\displaystyle x} have the same order mod p {\displaystyle p} and mod p 2 {\displaystyle p^{2}} ?", for which rare cases give an affirmative answer (e.g., x = 3 , p = 11 {\displaystyle x=3,p=11} ; x = 2 , p = 1093 {\displaystyle x=2,p=1093} ); hence, one might conjecture that equality may hold for some exceptional p {\displaystyle p} . »

« Le problème le plus déroutant que nous ayons rencontré dans cette étude concerne l'hypothèse k ( p 2 ) ≠ k ( p ) {\displaystyle k(p^{2})\neq k(p)} . Nous avons effectué un test sur ordinateur numérique qui montre que k ( p 2 ) ≠ k ( p ) {\displaystyle k(p^{2})\neq k(p)} pour tout p {\displaystyle p} jusqu'à 10000 {\displaystyle 10000}  ; cependant, nous ne pouvons pas prouver que k ( p 2 ) = k ( p ) {\displaystyle k(p^{2})=k(p)} est impossible. La question est étroitement liée à une autre, « un nombre x {\displaystyle x} peut-il avoir le même ordre mod p {\displaystyle p} et mod p 2 {\displaystyle p^{2}}  ? », pour laquelle de rares cas donnent une réponse affirmative (par exemple, x = 3 , p = 11 {\displaystyle x=3,p=11}  ; x = 2 , p = 1093 {\displaystyle x=2,p=1093} ) ; par conséquent, on pourrait conjecturer que l’égalité peut être vraie pour certains p {\displaystyle p} exceptionnels. »

Il a depuis été conjecturé qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wall-Sun-Sun[2],[3].

En 1992, Z. H. Sun et Z. W. Sun[4] ont montré que, si le premier cas du dernier théorème de Fermat était faux pour un certain nombre premier p, alors p serait un nombre premier de Wall-Sun-Sun. Par conséquent, avant la démonstration par Andrew Wiles du dernier théorème de Fermat, on rechercha des nombres premiers de Wall-Sun-Sun dans l'espoir d'en trouver un qui soit même un contre-exemple à cette conjecture centenaire[3].

Il a depuis été démontré qu'il n'existe aucun nombre premier de Wall-Sun-Sun inférieur à des valeurs de plus en plus grandes :

Date Borne inférieure Référence
1960 104 Donald Dines Wall[1]
2003 1014 [5]
2007 2 × 1014 Richard J. McIntosh et Eric L. Roettger[6]
2010 9,7 × 1014 Dorais and Klyve[7]
1,5 × 1016
2,8 × 1016

[8]

2022 264 (environ 18 × 1018) [9]

En décembre 2011, le projet PrimeGrid lança une nouvelle recherche[10], mai elle fut suspendue en mai 2017[11]. En novembre 2020, PrimeGrid démarra un autre projet pour rechercher simultanément des nombres premiers de Wieferich et de Wall-Sun-Sun[12]. Le projet s'acheva en décembre 2022 en ayant prouvé qu'aucun nombre premier de Wall-Sun-Sun n'est insérieur à 264 (environ 18 × 1018)[9].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Wall–Sun–Sun prime » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ a et b D. D. Wall, Fibonacci Series Modulo m, vol. 67, , 525–532 p. (DOI 10.2307/2309169, JSTOR 2309169), chap. 6
  2. ↑ (en) Jiří Klaška, « Short remark on Fibonacci−Wieferich primes », Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis, vol. 15, no 1,‎ , p. 21-25 (lire en ligne).
  3. ↑ a et b (en) Chris Caldwell, « The Prime Glossary: Wall–Sun–Sun prime », sur Prime Pages.
  4. ↑ (en) Z. Sun et Z. Sun, « Fibonacci numbers and Fermat's last theorem », Acta Arith., vol. 60,‎ , p. 371-388 (MR 93e:11025).
  5. ↑ (en) 9 Mar 2004, latest update on the Wieferich, Wilson, Wall-Sun-Sun (Fibonacci Wieferich) and Wolstenholme search.
  6. ↑ (en) R. J. McIntosh et E. L. Roettger, « A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes », Mathematics of Computation, vol. 76, no 260,‎ , p. 2087-2094 (lire en ligne).
  7. ↑ F. G. Dorais et D. W. Klyve, « Near Wieferich primes up to 6.7 × 1015 »,
  8. ↑ (en) « Wall–Sun–Sun Prime Search project », sur PrimeGrid.
  9. ↑ a et b Results: PrimeGrid Wieferich & WSS, PrimeGrid, consulté le 26 août 2024.
  10. ↑ Wall–Sun–Sun Prime Search project at PrimeGrid
  11. ↑ [1] at PrimeGrid
  12. ↑ Message boards : Wieferich and Wall-Sun-Sun Prime Search at PrimeGrid
v · m
Donnés par une formule
combinatoire
polynomiale
exponentielle
Mathématiques
Appartenant à une suite
Ayant une propriété remarquable
Ayant une propriété dépendant de la base
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres
singleton
n-uplet
suite
Classement par taille
Généralisations (entier quadratique)
Nombre composé
Nombre connexe
Test de primalité
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres
Constantes liées aux nombres premiers
  • icône décorative Arithmétique et théorie des nombres