Ten artykuł od 2024-05 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.
Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Rozkład Studenta, rozkład t Studenta, rozkład t – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie niepewności pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponuje się tylko wynikami n pomiarów, dla których można wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znane jest natomiast odchylenie standardowe w populacji. Zagadnienie to rozwiązał w 1908 r. William Sealy Gosset (pseudonim Student), podając funkcję zależną od wyników pomiarów a niezależną od
Definicja
Rozkład Studenta z stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej postaci:
Dowód. Niech i będą takie jak wyżej. Zmienna ma rozkład chi o stopniach swobody, a więc gęstość wyraża się wzorem
Rozważmy zmienną
Wówczas
a zatem całkując przez podstawienie obserwujemy, że
Zmienna ma zatem rozkład Jej gęstość jest więc postaci
Niech Wówczas powyższa całka przyjmuje postać
Gęstość rozkładu gamma wyraża się wzorem
Oznacza to, że
a stąd
Ostatecznie
Własności
Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości zmierzają do standardowego rozkładu normalnego Dla małych różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu w szczególności dla rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy’ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).
Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego
Zastosowania
Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:
Niech zmienne losowe mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej i wariancji oraz niech zmienna będzie określona wzorem:
Wówczas zmienna ma rozkład Studenta o stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ).
Jeżeli dwie próby o liczebnościach oraz wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna określona wzorem:
W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody i przyjętego poziomu istotności
Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości że lub Wartości te podają tablice rozkładu Studenta.
Bibliografia
Zieliński R., Tablice statystyczne, PWN, Warszawa 1972.
Linki zewnętrzne
VassarStats. vassarstats.net. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-03-04)]. Wykresy gęstości, wartości krytyczne i in. obliczane dla podanej przez użytkownika liczby stopni swobody.
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S). [dostęp 2009-05-27]. (ang.). (O historii terminu „Rozkład Studenta”)
Distribution Calculator Kalkulator obliczający prawdopodobieństwa i wartości krytyczne dla rozkładu normalnego, Studenta, chi-kwadrat oraz F
Kalkulator rozkładu – polski kalkulator online szacujący wartość statystyki t Studenta dla zadanej liczby stopni swobody
Tablice podstawowych rozkładów rachunku prawdopodobieństwa