Ortogonalność
Ten artykuł dotyczy pojęcia matematycznego. Zobacz też: ortogonalność grup ochronnych w chemii. |
Ortogonalność (z gr. ortho – prosto, prosty, gonia – kąt) – uogólnienie pojęcia prostopadłości[1] znanego z geometrii euklidesowej na abstrakcyjne przestrzenie z określonym iloczynem skalarnym, jak np. przestrzenie unitarne (w tym przestrzenie Hilberta) czy przestrzenie ortogonalne. Pojęcie ortogonalności bywa uogólnianie również na przestrzenie unormowane w których nie ma naturalnej struktury iloczynu skalarnego (ortogonalność w sensie Pitagorasa, ortogonalność w sensie Jamesa, ortogonalność w sensie Birkhoffa, T-ortogonalność)[2].
Definicja
Elementy i przestrzeni unitarnej z iloczynem skalarnym nazywa się ortogonalnymi, gdy
Relację zapisuje się symbolicznie Podzbiór przestrzeni unitarnej nazywa się układem ortogonalnym, gdy każde dwa różne jego elementy są ortogonalne.
Ortogonalność wektorów w przestrzeni trójwymiarowej
Długość wektora w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej wyraża się wzorem
Jeżeli i są wektorami z przestrzeni trójwymiarowej, to długość wektora wynosi
Liczby są długościami boków trójkąta gdzie
Wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest prostokątny, a to jest równoważne na mocy prostego i odwrotnego twierdzenia Pitagorasa zależności:
tzn.
Zastosowanie wzoru na kwadrat różnicy do powyższej równości implikuje równość
która upraszcza się do wyrażenia
Lewa strona powyższej równości pokrywa się ze wzorem na iloczyn skalarny wektorów i w przestrzeni trójwymiarowej.
Przykłady
- Przestrzenie euklidesowe
- Zobacz też: przestrzeń euklidesowa.
Wektory i na płaszczyźnie są ortogonalne (prostopadłe), ponieważ
Wektor zerowy jest ortogonalny do każdego wektora.
- Przestrzenie funkcyjne
Ortogonalność pojawia się również w kontekście przestrzeni funkcyjnych, w których określony jest pewien iloczyn skalarny. Z tego powodu mówi się często o funkcjach ortogonalnych, czy wielomianach ortogonalnych. Klasycznym przykładem jest przestrzeń , tj. przestrzeń wszystkich funkcji, określonych na przedziale o wartościach zespolonych, całkowalnych w drugiej potędze. Iloczyn skalarny elementów i tej przestrzeni definiuje się wzorem
W przypadku, gdy to rodzina funkcji
jest przykładem układu ortogonalnego. Inne przykłady ortogonalnych układów funkcji to np. wielomiany Legendre’a czy wielomiany Czebyszewa.
Zobacz też
Przypisy
- p
- d
- e
forma liniowa | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
formy dwuliniowe i półtoraliniowe | |||||||
iloczyny skalarne |
| ||||||
formy kwadratowe | |||||||
tensory |
- Britannica: topic/orthogonality
- Catalana: 0128369