Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę przestrzeni wielomianów; nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa.
Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju
Definicja rekurencyjna Wielomiany te spełniają zależność[1] :
T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1} T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x} T k ( x ) = 2 x ⋅ T k − 1 ( x ) − T k − 2 ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)=2x\cdot T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)}
Postać jawna Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest:
T k ( x ) = ( x + x 2 − 1 ) k + ( x − x 2 − 1 ) k 2 . {\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}}{2}}.}
Parzystość wielomianów Czebyszewa Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa k {\displaystyle k} -tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k – nieparzysty:
T k ( − x ) = ( − 1 ) k T k ( x ) . {\displaystyle T_{k}(-x)=(-1)^{k}T_{k}(x).}
Postać trygonometryczna Dla x ∈ [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle x\in [-1;1]} podstawiając za x = cos t , {\displaystyle x=\cos \,t,} dla k = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle k=0,1,2,\dots }
T k ( cos t ) = ( cos t + cos 2 t − 1 ) k + ( cos t − cos 2 t − 1 ) k 2 = ( cos t + − sin 2 t ) k + ( cos t − − sin 2 t ) k 2 = ( cos t + i ⋅ sin t ) k + ( cos t − i ⋅ sin t ) k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}T_{k}(\cos \,t)&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+i\cdot \sin \,t)^{k}+(\cos \,t-i\cdot \sin \,t)^{k}}{2}}\end{aligned}}} gdzie i 2 = − 1. {\displaystyle i^{2}=-1.}
Po zastosowaniu wzoru de Moivre’a na k -tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:
T k ( cos t ) = cos k t . {\displaystyle T_{k}(\cos \,t)=\cos kt.} Wracając do zmiennej x : {\displaystyle x{:}} t = arccos x {\displaystyle t=\arccos x}
T k ( x ) = cos ( k arccos ( x ) ) . {\displaystyle T_{k}(x)=\cos(k\,\arccos(x)).\qquad {}} (*) Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża wielomian Czebyszewa k {\displaystyle k} -tego stopnia przez funkcję trygonometryczną cos {\displaystyle \cos } i jej odwrotność arccos . {\displaystyle \arccos .} Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych, można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu x {\displaystyle x} równe:
T k ( x ) = { cos ( k arccos x ) , x ∈ [ − 1 , 1 ] cosh ( k arcosh ( x ) ) , x ⩾ 1 ( − 1 ) k cosh ( k arcosh ( − x ) ) , x ⩽ − 1 {\displaystyle T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&x\in [-1,1]\\[2px]\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (x)),&x\geqslant 1\\[2px](-1)^{k}\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (-x)),&x\leqslant -1\end{cases}}} Można wykazać, że
cos ( k t ) = e i k t + e − i k t 2 = ( e i t ) k + ( e i t ) − k 2 , {\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {e^{ik\,t}+e^{-ik\,t}}{2}}={\frac {(e^{i\,t})^{k}+(e^{i\,t})^{-k}}{2}},} ponieważ zachodzi
e i t = cos ( t ) + i sin ( t ) {\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+i\sin(t)} oraz
sin ( t ) = 1 − cos 2 ( t ) {\displaystyle \sin(t)={\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}} zachodzi
e i t = cos ( t ) + cos 2 ( t ) − 1 , {\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}},} a stąd
cos ( k t ) = ( cos ( t ) + cos 2 ( t ) − 1 ) k + ( cos ( t ) + cos 2 ( t ) − 1 ) − k 2 {\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{k}+(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{-k}}{2}}} podstawiają za cos ( t ) {\displaystyle \cos(t)} x , otrzymuje się
T k ( x ) = ( x + x 2 − 1 ) k + ( x + x 2 − 1 ) − k 2 . {\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{-k}}{2}}.}
Zera wielomianów Czebyszewa Wielomian Czebyszewa T k ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)} posiada k zer rzeczywistych należących do [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle [-1;1]} danych wzorem:
x j = cos ( 2 j − 1 2 k π ) , j = 1 , 2 , … , k . {\displaystyle x_{j}=\cos \left({\frac {2j-1}{2k}}\,\pi \right),\quad j=1,2,\dots ,k.}
Ortogonalność Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni L p 2 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle L_{p}^{2}[-1,1]} z funkcją wagową w ( x ) = 1 1 − x 2 : {\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{:}}
∫ − 1 1 T k ( x ) T j ( x ) d x 1 − x 2 = { 0 : k ≠ j π : k = j = 0 π / 2 : k = j ≠ 0 {\displaystyle {}\,\int \limits _{-1}^{1}T_{k}(x)T_{j}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{aligned}&0&&:k\neq j\\&\pi &&:k=j=0\\&\pi /2&&:k=j\neq 0\end{aligned}}\right.}
Dowód ⟨ T k , T j ⟩ = ∫ − 1 1 T k ( x ) ⋅ T j ( x ) 1 − x 2 d x = ∫ − 1 1 cos ( k ⋅ arccos ( x ) ) ⋅ cos ( j ⋅ arccos ( x ) ) 1 − x 2 d x . {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {T_{k}(x)\cdot T_{j}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\cos(k\cdot \arccos(x))\cdot \cos(j\cdot \arccos(x))}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.} Zastosujmy podstawienie t = arccos ( x ) . {\displaystyle t=\arccos(x).} Mamy wówczas d t d x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} oraz x = cos ( t ) . {\displaystyle x=\cos(t).} Stosując we wcześniejszym wzorze:
⟨ T k , T j ⟩ = − ∫ π 0 cos ( k ⋅ t ) ⋅ cos ( j ⋅ t ) 1 − cos 2 ( t ) 1 − cos 2 ( t ) d t = ∫ 0 π cos ( k ⋅ t ) ⋅ cos ( j ⋅ t ) d t . {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =-\int \limits _{\pi }^{0}{\frac {\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}dt=\int \limits _{0}^{\pi }\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)dt.} Korzystając ze wzoru trygonometrycznego cos ( α ) ⋅ cos ( β ) = 1 2 [ cos ( α − β ) + cos ( α + β ) ] {\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]} dostajemy
⟨ T k , T j ⟩ = ∫ 0 π 1 2 [ cos ( ( k − j ) t ) + cos ( ( k + j ) t ) ] d t = 1 2 ∫ 0 π cos ( ( k − j ) t ) d t + 1 2 ∫ 0 π cos ( ( k + j ) t ) d t . {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}[\cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt.} Załóżmy w tym momencie, że k ≠ j {\displaystyle k\neq j} i rozpatrzmy obie całki osobno.
∫ 0 π cos ( ( k − j ) t ) d t = 1 k − j ∫ 0 ( k − j ) π cos ( t ) d t = 1 k − j [ sin ( t ) ] 0 ( k − j ) π = 0. {\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{0}^{(k-j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{0}^{(k-j)\pi }=0.} Analogicznie:
∫ 0 π cos ( ( k + j ) t ) d t = 1 k + j ∫ 0 ( k + j ) π cos ( t ) d t = 1 k + j [ sin ( t ) ] 0 ( k + j ) π = 0. {\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{0}^{(k+j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{0}^{(k+j)\pi }=0.} Zatem:
⟨ T k , T j ⟩ = 0. {\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =0.} Widać, że założenie, iż k ≠ j {\displaystyle k\neq j} jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.
Powyższe równania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe .
Teraz rozważmy przypadek, kiedy j = k ≠ 0 {\displaystyle j=k\neq 0}
⟨ T k , T k ⟩ = 1 2 ∫ 0 π [ cos ( ( k − k ) t ) + cos ( ( k + k ) t ) ] d t = 1 2 ∫ 0 π [ 1 + cos ( 2 k t ) ] d t = π 2 + ∫ 0 π cos ( 2 k t ) d t = π 2 + 1 2 k ∫ 0 2 k π cos ( t ) d t = π 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\langle T_{k},T_{k}\rangle &={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[\cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[1+\cos(2kt)]dt\\&={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{0}^{\pi }\cos(2kt)dt\\&={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{0}^{2k\pi }\cos(t)dt\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}} W przypadku k = j = 0 {\displaystyle k=j=0} dostajemy ⟨ T 0 , T 0 ⟩ = π {\displaystyle \langle T_{0},T_{0}\rangle =\pi } co kończy dowód.
Przykłady wielomianów Czebyszewa Wielomiany Czebyszewa od T0 do T8 Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:
T 0 ( x ) = 1 {\displaystyle T_{0}(x)=1} T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x} T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 {\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1} T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x {\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x} T 4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1 {\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1} T 5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5 x {\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x} T 6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1 {\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1} T 7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x {\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x} T 8 ( x ) = 128 x 8 − 256 x 6 + 160 x 4 − 32 x 2 + 1 {\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1} T 9 ( x ) = 256 x 9 − 576 x 7 + 432 x 5 − 120 x 3 + 9 x . {\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.}
Własności Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa 1 2 k − 1 T k ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)} ma na odcinku [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle [-1;1]} najmniejszą normę jednostajną (maksymalną wartość absolutną), spośród wszystkich wielomianów stopnia k, o współczynniku wiodącym równym jeden. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:
w k ( x ) = x k + a k − 1 x k − 1 + … + a 1 x + a 0 {\displaystyle w_{k}(x)=x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}} zachodzi nierówność:
max x ∈ [ − 1 ; 1 ] | w k ( x ) | ⩾ max x ∈ [ − 1 ; 1 ] | 1 2 k − 1 T k ( x ) | . {\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{x\in [-1;1]}|{\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)|.} Wiedząc, że dla każdego x ∈ [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle x\in [-1;1]} wielomian T k ( x ) {\displaystyle T_{k}(x)} przyjmuje wszystkie wartości z [ − 1 ; 1 ] , {\displaystyle [-1;1],} możemy napisać:
max x ∈ [ − 1 ; 1 ] | w k ( x ) | ⩾ 1 2 k − 1 . {\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{k-1}}}.}
Zastosowania Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów Czebyszewa , leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian, zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.
Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju
Definicja rekurencyjna U 0 ( x ) = 1 {\displaystyle U_{0}(x)=1} U 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle U_{1}(x)=2x} U k ( x ) = 2 x ⋅ U k − 1 ( x ) − U k − 2 ( x ) {\displaystyle U_{k}(x)=2x\cdot U_{k-1}(x)-U_{k-2}(x)} Funkcja wagowa iloczynu skalarnego: ρ ( x ) = 1 − x 2 . {\displaystyle \rho (x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}
Zobacz też
Przypisy ↑ wielomiany Czebyszewa , [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-22] . LCCN : sh85022808 GND : 4147437-5 NDL: 00561176 BnF : 12390415z SUDOC : 032990200 BNE : XX5250030 J9U : 987007285081305171 БРЭ : 4680982 DSDE : Tjebysjov-polynomier