垂足曲線

垂足曲線（すいそくきょくせん、英: pedal curve）は、曲線の接線に対する、固定された点の直交射影が成す曲線である^{[1][2][3][4][5]}。より正確に言えば、平面曲線Cと点P （Pedal point）について、Pを通るCの接線の垂足（接線と垂線の交点）Xの軌跡を垂足曲線という。逆に、曲線C上の任意の点Rで接する接線Tのある垂線が、ある点Pを通るなら、その接線の垂足は垂足曲線を成す。

垂足曲線を補完するために、四角形PXRYが長方形となるように点Yを取る。点Yの軌跡はcontrapedal curveと呼ばれる。

曲線のorthotomicは、Pを拡大の中心として垂足を2倍に拡大した曲線である。これは、Pを接線Tで鏡映した点の軌跡である。

垂足曲線は、曲線C_nの垂足曲線をC_n+1として、C₀,C₁,C₂,C₃...と定義していったときの一連の曲線の最初の曲線である。この曲線内で、C_nをC₀の n th positive pedal curveという。逆にC₀はC_nのn番目の負垂足線 （nth negative curve） または逆垂足曲線と呼ばれる^{[6][7][8][9][10]}。

Pを原点とする。また、曲線CをF(x, y)=0とする。C上の点R=(x₀, y₀)の接線は次の形で書くことができる。

${\displaystyle \cos \alpha x+\sin \alpha y=p}$

このとき位置ベクトル(cos α, sin α)は線分PX（接線の垂線）と平行で長さが等しい。したがって、Xは極座標で(p, α) と表せる。(p, α)を(r, θ)で置き換えると極形式の垂足曲線の形を得る^[11]。

例として、楕円の垂足曲線を挙げる^[12]。楕円の方程式は次の式で表される。

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

楕円上の点R=(x₀, y₀)における接線は

${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

である。これを上記の形に書き換えると次のようになる。

${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}.}$

楕円の方程式からx₀, y₀を消去（英語版）して

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\alpha +b^{2}\sin ^{2}\alpha =p^{2},\,}$

を得る。(r, θ)に置き換えると

${\displaystyle a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta =r^{2},\,}$

となる。この式は容易にデカルト座標の方程式に置き換えることができる。

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,}$

Pを原点とする。曲線Cを極座標r=f(θ)で与える。R=(r, θ)をC上の点、X=(p, α)を前項と同様に定義する。ψを接線及び動径の偏角として、

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi }$

より

${\displaystyle p=r\sin \psi ,\quad \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.}$

これらの方程式は(r, θ)を垂足曲線の等式の変数(p, α)に置き換えることができる^[13]。

例として、円r = a cos θの垂足曲線を考える^[14]。

${\displaystyle a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi }$

であるから

${\displaystyle \tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta .}$

と、

${\displaystyle p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}.}$

が成り立つ。これらを解いて、

${\displaystyle r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}.}$

曲線の垂足座標による表示と垂足曲線は深い関係にある。原点Pをpedal pointとして取る。R における動径と曲線の成す角ψは、垂足曲線の対応するXにおける角と等しい。pを垂線の長さ（Pから垂足Xまでの距離PX）、qを対応する垂足曲線のPを通る垂線の長さとすれば、三角形の相似より、

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.}$

これより、曲線の垂足方程式をf(p, r)=0として、垂足曲線の垂足方程式は次の式で表せる^[15]。

${\displaystyle f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0}$

この式から曲線のnth positive/negative pedal curveの垂足方程式は簡単に求めることができる

${\displaystyle {\vec {v}}=P-R}$とする。また、${\displaystyle {\vec {v}}}$を接線ベクトルと法線ベクトル（英語版）に分解して次のように書く。

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\parallel }+{\vec {v}}_{\perp }}$,

${\displaystyle {\vec {v}}_{\parallel }}$はRX方向のベクトルとなる。

tをパラメタとして曲線cの垂足曲線のパラメトリック方程式は

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

で表される（c'が0または定義できない点は無視する）。

曲線を媒介的に定義して、pedal pointが(0,0)である曲線の垂足曲線は、

${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

と表せる。contrapedal curveは次の式で与えることができる。

${\displaystyle t\mapsto P-{c'(t)\cdot (P-c(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

同じpedal pointでは、contrapedal curveは曲線の縮閉線の垂足曲線と一致する。

点Pを通る直線と、曲線の接線が直角を成すような剛体移動を考える。この角の頂点Xは曲線とPの垂足曲線をたどる。角が動けばPに対する動く方向はPXと平行になり、Rの動く方向は接線T (=RX)に平行になる。したがって瞬間中心は、PXのPを通る垂心と、RXのRを通る垂線の交点Yである。Xにおける垂足曲線の接線はXYのXを通る垂線と一致する。

直径をPRとする円は長方形PXRYに外接し、またXYを直径に持つ。したがって円と垂足曲線はどちらもXYと直交し、Xで接する。 故に、垂足曲線はもとの曲線上の点をRとして、直径をPRとする円の包絡線となる。

直線YRは曲線の法線であり、その包絡線は曲線の縮閉線である。故にYRは縮閉線の接線で、YはPを通る縮閉線の接線の垂足である。つまりYは縮閉線の垂足曲線である。よってcontrapedal curveは元の曲線の縮閉線の垂足曲線であることが従う。

CをPを中心に2倍縮小した図形をC'とする。 Rに対応する点R'は長方形PXRYの中心であり、R'におけるC'の接線はPY,XRと平行な直線で、長方形を二等分する。Pから発射され、R'で C'に衝突して反射する交線はYを通る。この反射された交線はCの垂足曲線と直交する直線であるXYと一致する。垂足曲線に直交する直線の包絡線は、反射された交線の包絡線、C'の火線（英語版）となる。 これは、曲線の火線はorthotomicの縮閉線と一致することの証明に使われる。

前述の様に、PRを直径とする円が垂足曲線に接する。この円の中心R'はである。

D'をC',D'の共通接線で鏡映の関係にある合同な曲線として、輪転曲線（英語版）の定義の様に、C'上を滑らせずに転がす。ニ曲線が点R'で接するとすれば、 Pと対応する点はXとなる。また輪転曲線は垂足曲線となる。同様に、曲線のorthotomicは輪転曲線の鏡映像の輪転曲線となる。

Cが円であるとき、上記の議論から蝸牛形は以下の様な定義ができる。

• 円の垂足曲線。
• ある固定点と円上の点を直径の両端とする円の包絡線。
• 中心が円上にあり固定点を通る円の包絡線。
• 同半径の円上を転がる円の輪転曲線。

円の火線は蝸牛形の縮閉線である。

有名な曲線の垂足曲線を挙げる^[16]。

曲線	方程式	Pedal point	垂足曲線
円		円周上の点	カージオイド
円		任意の点	蝸牛形
放物線		焦点	頂点における接線
放物線		頂点	ディオクレスのシッソイド
デルトイド		中心	Trifolium
楕円または双曲線		焦点	副円
楕円または双曲線	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	中心	${\displaystyle {a^{2}}\cos ^{2}\theta \pm {b^{2}}\sin ^{2}\theta =r^{2}}$  (Hippopede)
直角双曲線		中心	ベルヌーイのレムニスケート（英語版）
対数螺旋		極	対数螺旋
正弦波螺旋（英語版）	${\displaystyle r^{n}=a^{n}\cos n\theta }$	極	${\displaystyle r^{\tfrac {n}{n+1}}=a^{\tfrac {n}{n+1}}\cos {\tfrac {n}{n+1}}\theta }$ (別の正弦波螺旋)

• 曲線の一覧（英語版）
• 垂足三角形

• Weisstein, Eric W. "Pedal Curve". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Contrapedal Curve". mathworld.wolfram.com (英語).
• Weisstein, Eric W. "Orthotomic". mathworld.wolfram.com (英語).