四角形 A B C D {\displaystyle ABCD} 及び四角形 E F G H {\displaystyle EFGH} は双心四角形である。 双心四角形 (そうしんしかっけい、英 : Bicentric Quadrilateral, chord-tangent, quadrilateralinscribed and circumscribed quadrilateral [ 1] )とは外接円 と内接円 の両方をもつ四角形 のことである。双心多角形 の一種。
ポンスレの閉形定理 より、ある二円についての双心四角形が一つ見つかれば、そのような四角形は無数に存在する[ 2] 。
特別な場合 直角凧形 双心四角形の一つに正方形 、直角凧形 、円に外接する等脚台形 などがある。
面積の公式 4辺が a , b , c , d である双心四角形ABCD の面積は次の公式で表される。
S = a b c d {\displaystyle S={\sqrt {abcd}}} より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、 t = A + C 2 {\displaystyle t={\frac {A+C}{2}}} とおくと次で与えられる。
S = a b c d sin t {\displaystyle S={\sqrt {abcd}}\sin t} 双心四角形に対する公式は、t = 90° という特殊な場合である。
証明 双心四角形ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式 が使えて、次の式が成り立つ。
S = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} ただし s = a + b + c + d 2 {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}} (半周長 ) 内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので
a + c = b + d = s したがって
s − a = c s − c = a s − b = d s − d = b ゆえに
S = a b c d {\displaystyle S={\sqrt {abcd}}} (証終)
外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、ブレートシュナイダーの公式 を用いて同様に示せる。
その他の面積公式 またA,B,C,Dに対する接線長 をe,f,g,h 、内心 をI 、対角線 の成す角をθ などとすれば次のように書ける[ 3] [ 4] [ 5] 。
K = e f g h 4 ( e + f + g + h ) . {\displaystyle K={\sqrt[{4}]{efgh}}(e+f+g+h).}
K = A I ¯ ⋅ C I ¯ + B I ¯ ⋅ D I ¯ . {\displaystyle K={\overline {AI}}\cdot {\overline {CI}}+{\overline {BI}}\cdot {\overline {DI}}.}
K = r ( r + 4 R 2 + r 2 ) sin θ {\displaystyle K=r(r+{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}})\sin \theta }
ただし、r,R はそれぞれ内半径と外半径。
不等式 面積の関係する不等式には以下の様なものがある[ 6] 。
4 r 2 ≤ K ≤ 2 R 2 . {\displaystyle \displaystyle 4r^{2}\leq K\leq 2R^{2}.} 等号成立は正方形。
K ≤ 4 3 r 4 R 2 + r 2 {\displaystyle K\leq {\tfrac {4}{3}}r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}} 等号成立は正方形
2 K ≤ s ≤ r + r 2 + 4 R 2 ; {\displaystyle 2{\sqrt {K}}\leq s\leq r+{\sqrt {r^{2}+4R^{2}}};} 等号成立条件は凧形 。
角の公式 角の三角関数 について、以下の式が成り立つ[ 4] [ 7] [ 8] 。記号は前項と同。
tan A 2 = b c a d = cot C 2 , tan B 2 = c d a b = cot D 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad}}}=\cot {\frac {C}{2}},\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab}}}=\cot {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}
sin A 2 = b c a d + b c = cos C 2 , cos A 2 = a d a d + b c = sin C 2 , sin B 2 = c d a b + c d = cos D 2 , cos B 2 = a b a b + c d = sin D 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {bc}{ad+bc}}}=\cos {\frac {C}{2}},\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {ad}{ad+bc}}}=\sin {\frac {C}{2}},\\\sin {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {cd}{ab+cd}}}=\cos {\frac {D}{2}},\\\cos {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\frac {ab}{ab+cd}}}=\sin {\frac {D}{2}}.\end{aligned}}}
tan θ 2 = b d a c . {\displaystyle \displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {bd}{ac}}}.}
外接円と内接円の関係 ファスの定理(Fuss's theorem)
ファスの定理 外接円の半径を R 、内接円の半径を r 、外接円の中心と内接円の中心の距離を d としたとき、 1 ( R − d ) 2 + 1 ( R + d ) 2 = 1 r 2 , {\displaystyle {\frac {1}{(R-d)^{2}}}+{\frac {1}{(R+d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}},}
または
2 r 2 ( R 2 + d 2 ) = ( R 2 − d 2 ) 2 {\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+d^{2})=(R^{2}-d^{2})^{2}} が成り立つ[ 1] [ 9] [ 10] 。定理名はニコラス・ファス(英語版) に由来する。
とくにdについて整理すれば
d = R 2 + r 2 − r 4 R 2 + r 2 . {\displaystyle d={\sqrt {R^{2}+r^{2}-r{\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}.}
を得る。これはオイラーの定理の拡張である。また、この式を満たすd,r,R が存在すれば四角形についてポンスレの閉形定理 が成立する。
Carlitzの恒等式 Leonard Carlitz (Leonard Carlitz ) によれば、次の式が成り立つ[ 11] 。
d 2 = R 2 − 2 R r ⋅ μ {\displaystyle \displaystyle d^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }
ただし
μ = ( a b + c d ) ( a d + b c ) ( a + c ) 2 ( a c + b d ) = ( a b + c d ) ( a d + b c ) ( b + d ) 2 ( a c + b d ) {\displaystyle \displaystyle \mu ={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}}
接線長と辺の長さに関する不等式 A,B,C,D の接線長をe,f,g,h とすると以下の不等式が成立する[ 12] 。
4 r ≤ e + f + g + h ≤ 4 r ⋅ R 2 + x 2 R 2 − x 2 {\displaystyle 4r\leq e+f+g+h\leq 4r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}
4 r 2 ≤ e 2 + f 2 + g 2 + h 2 ≤ 4 ( R 2 + x 2 − r 2 ) {\displaystyle 4r^{2}\leq e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}\leq 4(R^{2}+x^{2}-r^{2})}
同様に辺a,b,c,d でも以下の不等式が成立する[ 12] 。
8 r ≤ a + b + c + d ≤ 8 r ⋅ R 2 + x 2 R 2 − x 2 {\displaystyle 8r\leq a+b+c+d\leq 8r\cdot {\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}
4 ( R 2 − x 2 + 2 r 2 ) ≤ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 4 ( 3 R 2 − 2 r 2 ) . {\displaystyle 4(R^{2}-x^{2}+2r^{2})\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\leq 4(3R^{2}-2r^{2}).}
内心の性質 双心四角形の内心 、外心 、対角線の交点は共線 である[ 13] 。
内接円の半径と、内心と各頂点の距離について 1 A I ¯ 2 + 1 C I ¯ 2 = 1 B I ¯ 2 + 1 D I ¯ 2 = 1 r 2 {\displaystyle {\frac {1}{{\overline {AI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {CI}}^{2}}}={\frac {1}{{\overline {BI}}^{2}}}+{\frac {1}{{\overline {DI}}^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}} が成り立つ[ 14] 。
また、対角線の交点をP と置けば、
A P ¯ C P ¯ = A I ¯ 2 C I ¯ 2 . {\displaystyle {\frac {\overline {AP}}{\overline {CP}}}={\frac {{\overline {AI}}^{2}}{{\overline {CI}}^{2}}}.} である[ 15] 。
分割された4つの三角形の内心 双心三角形ABCD の外心O で分割された4つの三角形△OAB , △OBC , △OCD , △ODA の内心は共円 である[ 16] 。
関連項目
出典 ^ a b Dörrie, Heinrich; Dörrie, Heinrich (2009). 100 great problems of elementary mathematics: their history and solution . New York: Dover Publ. ISBN 978-0-486-61348-2 ^ Weisstein, Eric W.. “Poncelet's Porism” (英語). Mathworld . 2024年7月16日 閲覧。 ^ Josefsson, Martin (2010), “Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral”, Forum Geometricorum 10 : 119–130, http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf . ^ a b JosefssonMartin「The Area of a Bicentric Quadrilateral」『Forum Geometricorum 』第11巻、155–164頁、2011年。http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf 。 . ^ Josefsson, Martin (2012), “Maximal Area of a Bicentric Quadrilateral”, Forum Geometricorum 12 : 237–241, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201222.pdf . ^ Inequalities proposed in Crux Mathematicorum , 2007.[1] ^ Josefsson, Martin (2012), “A New Proof of Yun’s Inequality for Bicentric Quadrilaterals”, Forum Geometricorum 12 : 79–82, http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201208.pdf . ^ Durell, C. V. and Robson, A., Advanced Trigonometry , Dover, 2003, pp. 28, 30. ^ Yiu, Paul, Euclidean Geometry , [2], 1998, pp. 158-164. ^ Salazar, Juan Carlos (2006), “Fuss's Theorem”, Mathematical Gazette 90 (July) : 306–307 . ^ Calin, Ovidiu, Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach , [3], pp. 153–158. ^ a b Radic, Mirko, "Certain inequalities concerning bicentric quadrilaterals, hexagons and octagons", Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics , Volume 6, Issue 1, 2005, [4] ^ Bogomolny, Alex, Collinearity in Bicentric Quadrilaterals [5], 2004. ^ L. V. Nagarajan, Bi-centric Polygons , 2014, [6]. ^ Crux Mathematicorum 34 (2008) no 4, p. 242. ^ Alexey A. Zaslavsky, One property of bicentral quadrilaterals, 2019, [7]
外部リンク Weisstein, Eric W. "Bicentric Quadrilateral". mathworld.wolfram.com (英語). 非古典的 (2辺以下) 辺の数: 3–10
辺の数: 11–20 辺の数: 21–30 辺の数: 31–40 辺の数: 41–50 辺の数: 51–70 (抜粋) 辺の数: 71–100 (抜粋) 辺の数: 101– (抜粋) 無限 星型多角形 (辺の数: 5–12)多角形のクラス