ルモワーヌ六角形

ルモワーヌ六角形^[1]（ルモワーヌろっかくけい、英: Lemoine hexagon）またはルモワーヌ六辺形^[2]^[3]は、三角形のルモワーヌ点を通る三角形の辺に平行な直線（ルモワーヌ平行線）と各辺の交点から成る内接六角形である。点の繋ぎ方によって二つの異なる定義がある。

面積と周長

ルモワーヌ六角形は二つの定義ができる。一つは単に交点を頂点とする六角形として定義するものである。もう一つは、頂点は先と同様であるが、ルモワーヌ平行線を辺に持ち、すべての辺がルモワーヌ点で交わるような六角形として定義するものである。

単純な方の六角形は、三角形の辺長を $a,b,c$ 、面積を $\Delta$ として周長は次の式で与えられる。

p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

面積は次の式で与えられる。

K={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

自己交叉する方の六角形の周長は、

p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

面積は、

K={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta

平面幾何学においては円錐曲線は五点で決まる（英語版）。したがって、6つの点がいつでも同一円錐曲線上にある、特に共円であるとは限らない。しかしルモワーヌ六角形は共円多角形である。その外接円は第一ルモワーヌ円と言われる。ルモワーヌ六角形の一般化にタッカー円を使うものがある。

^ 長沢亀之助『幾何学精義 (数学中等参考叢書)』成美堂、1907年、693頁。doi:10.11501/828520。
^ ウジェーヌ・ルーシェ,Charles de Comberousse 著、小倉金之助編『初等幾何学第1巻平面之部』山海堂、1913年、602,622頁。doi:10.11501/930885。
^ 長沢亀之助『三角法精義』成美堂、1907年、253頁。doi:10.11501/828657。

Casey, John (1888), “Lemoine's, Tucker's, and Taylor's Circles”, A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid, Containing an Easy Introduction to Modern Geometry with Numerous Examples (5th ed.), Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 179ff, https://books.google.com/books?id=i87Ikm2u_6sC&pg=PA179
Lemoine, É. (1874), “Sur quelques propriétés d’un point remarquable d’un triangle” (French), Association francaise pour l'avancement des sciences, Congrès (002; 1873; Lyon), pp. 90–95, http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k201149r/f128.image .
Mackay, J. S. (1895), “Symmedians of a triangle and their concomitant circles”, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society 14: 37–103, doi:10.1017/S0013091500031758 .