Đường cong Gauss chuẩn hóa với giá trị kỳ vọng μ và phương sai σ2 . Những tham số tương ứng là a = 1/(σ√(2π)), b = μ, c = σ Trong toán học , hàm Gauss (đặt tên theo Carl Friedrich Gauss ) là một hàm có dạng:
f ( x ) = a e − ( x − b ) 2 2 c 2 {\displaystyle f(x)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}} với các hằng số thực a > 0, b , c > 0, và e ≈ 2.718281828 (Số Euler ).
Biểu đồ của một hàm Gauss là một đường cong đối xứng đặc trưng "hình quả chuông". Đường cong này rớt xuống rất nhanh khi tiến tới cộng/trừ vô cùng. Tham số a là chiều cao tối đa đường cong, b là vị trí tâm của đỉnh và c quyết định chiều rộng của "chuông".
Hàm Gauss được sử dụng rộng rãi. Trong thống kê chúng miêu tả phân bố chuẩn , trong xử lý tín hiệu chúng giúp định nghĩa bộ lọc Gauss, trong xử lý hình ảnh hàm Gauss hai chiều được dùng để tạo hiệu ứng mờ Gauss, và trong toán học chúng được dùng để giải phương trình nhiệt và phương trình khuếch tán và định nghĩa phép biến đổi Weierstrass.
Tích phân Gauss Đặt I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle I=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx} , Thì ta có I 2 = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) ( ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y ) = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 + y 2 d x d y {\displaystyle I^{2}=\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)\left(\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy\right)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}+y^{2}}dxdy} .
để áp dùng biến đổi Hệ tọa độ cực , đặt x = r cos θ , y = r sin θ {\displaystyle x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta } lại. Ta có [ d x d y ] = [ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ] [ d r d θ ] = [ cos θ − r sin θ s i n θ r cos θ ] [ d r d θ ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}dr\\d\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\sin\theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}dr\\d\theta \end{bmatrix}}} với Ma trận Jacobi .
Mà Định thức Jacobi J = [ ∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) ] {\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}\end{bmatrix}}} , Ta có d x d y = [ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ] d r d θ = r d r d θ {\displaystyle dxdy={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}drd\theta =rdrd\theta } .
Nên I 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 + y 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ {\displaystyle I^{2}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}+y^{2}}dxdy=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}rdrd\theta } .
Vậy I 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π [ e − r 2 ] 0 ∞ d r d θ = ∫ 0 2 π 1 2 d θ = π {\displaystyle I^{2}=\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}rdrd\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }[e^{-r^{2}}]_{0}^{\infty }drd\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}d\theta =\pi } , I = π . {\displaystyle I={\sqrt {\pi }}.}
Đây là lý do của diện tích dưới đường cong Phân phối chuẩn phải bằng 1.
Tính chất Hàm Gauss phát sinh từ việc gán hàm mũ phức vào một hàm bậc hai thông thường. Do đó hàm Gauss có logarit là một hàm bậc hai.
Tham khảo
Liên kết Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.
Các loại tích phân Riemann Lebesgue Burkill Bochner Daniell Darboux Henstock-Kurzweil Haar Hellinger Khinchin Kolmogorov Lebesgue–Stieltjes Pettis Pfeffer Riemann-Stieltjes Tích phân quy định Kĩ thuật tính Tích phân bất định Tích phân Gauss Tích phân Dirichlet Tích phân Fermi-Dirac hoàn chỉnh chưa hoàn chỉnh Tích phân Bose-Einstein Tích phân Frullani Tích phân thường gặp trong lý thuyết trường lượng tử Vi phân ngẫu nhiên Tích phân Itô Tích phân Russo-Vallois Tích phân Stratonovich Tích phân Skorokhod Liên quan