Trong toán học, Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Lvovich Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho
và
thì
Tương tự, nếu
và
thì
Chứng minh
Cách 1: Dùng bất đẳng thức hoán vị.
Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau
và
Vậy thì, theo bất đẳng thức hoán vị, ta có
là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên.
Cộng vế theo vế, ta có:
chia cả hai vế cho , ta nhận được:
(điều phải chứng minh)
Cách 2: Phép biến đổi tương đương:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
(luôn đúng do và ).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tham khảo
- Chebyshev's sum inequality - Wikipedia tiếng Anh
Bài viết này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. |