6j-символи

6j-символи Вігнера були введені в обіг Євгеном Полем Вігнером у 1940 й опубліковані у 1965. Вони співвідносяться з W-коефіцієнтами Рака таким чином

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{4}+j_{5}}W(j_{1}j_{2}j_{5}j_{4};j_{3}j_{6}).}$

й мають вищий ступінь симетрії, ніж W-коефіцієнти Рака.

6j-символ є інваріантним (не змінює свого значення) щодо взаємної перестановки будь-яких двох своїх стопчиків:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\j_{5}&j_{4}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\j_{4}&j_{6}&j_{5}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{3}&j_{2}&j_{1}\\j_{6}&j_{5}&j_{4}\end{Bmatrix}}.}$

6j-символ є також інваріантним щодо взаємної перестановки верхнього та нижнього аргументів у будь-якій парі стовпчиків:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{5}&j_{3}\\j_{1}&j_{2}&j_{6}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{5}&j_{6}\\j_{4}&j_{2}&j_{3}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}j_{4}&j_{2}&j_{6}\\j_{1}&j_{5}&j_{3}\end{Bmatrix}}.}$

6j-символ

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}}$

дорівнює нулю, за виключенням випадків коли ${\displaystyle j_{1}}$, ${\displaystyle j_{2}}$, та ${\displaystyle j_{3}}$ задовільняють «правило трикутника», тобто

${\displaystyle j_{1}=|j_{2}-j_{3}|,\ldots ,j_{2}+j_{3}.}$

Приймаючи до уваги, що 6j-символ не змінює свого значення при взаємній перестановці верхнього та нижнього аргументів у будь-якій парі стовпчиків, «правило трикутника» повинно справджуватися також і для ${\displaystyle (j_{1},j_{5},j_{6})}$, ${\displaystyle (j_{4},j_{2},j_{6})}$, та ${\displaystyle (j_{4},j_{5},j_{3})}$.

Коли аргумент ${\displaystyle j_{6}=0}$, значення 6j-символу можна обчислити за наступною формулою:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&0\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{2},j_{4}}\delta _{j_{1},j_{5}}}{\sqrt {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}}}(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}\Delta (j_{1},j_{2},j_{3}).}$

Функція ${\displaystyle \Delta (j_{1},j_{2},j_{3})}$ дорівнює 1 коли ${\displaystyle (j_{1},j_{2},j_{3})}$ задовольняють «правило трикутника», або нуль в інших випадках. Використовуючи властивості симетрії, можна знайти вираз для 6j-символу, коли будь-який інший аргумент ${\displaystyle j_{n}}$ дорівнює нулю.

6j-символи задовольняють такі відношення ортогональності

${\displaystyle \sum _{j_{3}}(2j_{3}+1){\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\j_{4}&j_{5}&j_{6}'\end{Bmatrix}}={\frac {\delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}{2j_{6}+1}}\Delta (j_{1},j_{5},j_{6})\Delta (j_{4},j_{2},j_{6}).}$

де ${\displaystyle \delta _{j_{6}^{}j_{6}'}}$ є символом Кронекера, а функції ${\displaystyle \Delta (j_{1},j_{5},j_{6}),\Delta (j_{4},j_{2},j_{6})}$ описані у розділі про окремі випадки.

• W-коефіцієнти Рака
• Сферичні гармоніки
• 3j-символи
• 9j-символи
• 12j-символи
• 15j-символи

• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М. : Мир, 1984. — 302+343 с.
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М. : Мир, 1993. — 352 с.
• Кондон Е., Шортли Г. Теория атомных спектров. — М. : ИЛ, 1949. — 440 с.
• Мессиа А. Квантовая механика. — М. : Наука, 1979. — Т. 2. — 584 с.
• Biedenharn, L. C.; van Dam, H. (1965). Quantum Theory of Angular Momentum: A collection of Reprints and Original Papers. New York: Academic Press. ISBN 0120960567.
• Edmonds, A. R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton, New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-07912-9.
• Maximon, Leonard C. 3j,6j,9j Symbols.
• Brink, D. M.; Satchler, G. R. (1993). Chapter 2. Angular Momentum (вид. 3rd). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-851759-9.

• Калькулятор коефіцієнтів Вінера, створений Антоні Стоуном [Архівовано 11 вересня 2010 у Wayback Machine.] (дає точну відповідь)
• Вебкалькулятор для коефіцієнтів Клебш-Ґордана, 3j- та 6j-символів (чисельно)
• Калькулятор для 369j-символів, розроблений у Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science [Архівовано 5 червня 2010 у Wayback Machine.] (чисельно)