Lerchs transcendent

Lerchs transcendent är en speciell funktion som generaliserar Hurwitzs zetafunktion och många andra kända funktioner. Funktionen är uppkallad efter Matyáš Lerch. Dess definition är

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}$

En integralrepresentation för Lerchs transcendent ges av

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

då

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge \Re (s)>0\wedge z<1\vee \Re (a)>0\wedge \Re (s)>1\wedge z=1.}$

En annan integralrepresentation ges av

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

då

${\displaystyle \Re (a)>0.}$

Hurwitzs zetafunktion är ett specialfall:

${\displaystyle \,\zeta (s,\alpha )=L(0,\alpha ,s)=\Phi (1,s,\alpha ).}$

Polylogaritmen är också ett specialfall:

${\displaystyle \,{\textrm {Li}}_{s}(z)=z\Phi (z,s,1).}$

Legendres chifunktion ges av

${\displaystyle \,\chi _{n}(z)=2^{-n}z\Phi (z^{2},n,1/2).}$

Riemanns zetafunktion ges av

${\displaystyle \,\zeta (s)=\Phi (1,s,1).}$

Dirichlets etafunktion ges av

${\displaystyle \,\eta (s)=\Phi (-1,s,1).}$

Andra specialfall ges av

${\displaystyle \Phi (z,s,1)={\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z}}}$

${\displaystyle \Phi (z,0,a)={\frac {1}{1-z}}}$

${\displaystyle \Phi (0,s,a)=\left(a^{2}\right)^{-{\frac {s}{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (0,s,a)=a^{-s}\,}$

${\displaystyle \Phi (z,1,1)=-{\frac {\log(1-z)}{z}}}$

${\displaystyle \Phi (1,s,{\tfrac {1}{2}})=(2^{s}-1)\zeta (s)}$

${\displaystyle \Phi (-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta (s)\,}$

${\displaystyle \Phi (0,1,a)={\frac {1}{\sqrt {a^{2}}}}}$

Flera kända konstanter kan skrivas med hjälp av Lerchs trascendent:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Phi (-1,2,{\tfrac {1}{2}})&=&\;4\,G\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,1)&=&\;\log \left({\frac {A^{3}}{{\sqrt[{3}]{2}}\,{\sqrt[{4}]{\mathrm {e} }}}}\right)\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-2,1)&=&\;{\frac {7\,\zeta (3)}{4\,\pi ^{2}}}\\&{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}(-1,-1,{\tfrac {1}{2}})&=&\;{\frac {G}{\pi }}\end{aligned}}}$

där ${\displaystyle G}$ är Catalans konstant, ${\displaystyle A}$ är Glaisher–Kinkelins konstant och ${\displaystyle \zeta (3)}$ är Apérys konstant.

Lerchs transcendent satisfierar ett stort antal identiteter, såsom

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

och

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

och

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-\,{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}$

Då Re(z)<1/2 kan Lerchs transcendent skrivas som

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}$

(Notera att ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ är en binomialkoefficient.)

Om s är ett positivt heltal är

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}$

då ${\displaystyle \psi (n)}$ är digammafunktionen.

En Taylorserie i tredje variabeln ges av

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

där ${\displaystyle (s)_{k}}$ är Pochhammersymbolen.

En serie med ofullständiga gammafunktionen är

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2\,a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{-2\,\pi \,i\,(k-1)a}\,\Gamma (1-s,a\,(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi \,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}}+{\frac {\mathrm {e} ^{2\,\pi \,i\,k\,a}\,\Gamma (1-s,a\,(2\,\pi \,i\,k-\log z))}{(2\,\pi \,i\,k-\log z)^{1-s}}}\quad |a|<1,\;\mathrm {Re} \,s<0.}$

• Bateman, H.; Erdélyi, A. (1953), Higher Transcendental Functions, Vol. I, New York: McGraw-Hill, http://apps.nrbook.com/bateman/Vol1.pdf . (See § 1.11, "The function Ψ(z,s,v)", p. 27)
• Gradshteyn, I.S.; Ryzhik, I.M. (1980), Tables of Integrals, Series, and Products (4th), New York: Academic Press, ISBN 0-12-294760-6 . (se kapitel 9.55)
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008), ”Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent”, The Ramanujan Journal 16 (3): 247–270, doi:10.1007/s11139-007-9102-0 . * Jackson, M. (1950), ”On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series ₂ψ₂”, J. London Math. Soc. 25 (3): 189–196, doi:10.1112/jlms/s1-25.3.189 .
• Laurinčikas, Antanas; Garunkštis, Ramūnas (2002), The Lerch zeta-function, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1014-9 .
• Lerch, Matyáš (1887), ”Note sur la fonction ${\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {K}}(w,x,s)=\sum _{k=0}^{\infty }{e^{2k\pi ix} \over (w+k)^{s}}}$” (på franska), Acta Mathematica 11 (1–4): 19–24, doi:10.1007/BF02612318 .