Hyperbolisk triangel

Hyperboliska trianglar på ett hyperboliskt plan

En hyperbolisk triangel är en triangel på ytan av ett hyperboliskt plan.

En hyperbolisk triangels area är

arccos ⁡ α + β + γ + α β + α γ + β γ + α 2 + β 2 + γ 2 − α β γ ( 1 + α ) ( 1 + β ) ( 1 + γ ) {\displaystyle \arccos {\frac {\alpha +\beta +\gamma +\alpha \,\beta +\alpha \gamma +\beta \gamma +\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha \,\beta \,\gamma }{(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )}}}

där

α = cosh ⁡ a , β = cosh ⁡ b , γ = cosh ⁡ c {\displaystyle \alpha =\cosh a,\quad \beta =\cosh b,\quad \gamma =\cosh c}

och a, b och c är längderna av triangelns sidor.

Om

Δ = 1 − α 2 − β 2 − γ 2 + 2 α β γ {\displaystyle \Delta ={\sqrt {1-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+2\alpha \,\beta \,\gamma }}}

är större än noll, så gäller för vinkeln A som är motstående vinkel till sidan med längden a:

sin ⁡ A 2 = Δ 4 cosh ⁡ a 2 cosh ⁡ b 2 cosh ⁡ c 2 {\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\frac {\Delta }{4\cosh {\cfrac {a}{2}}\,\cosh {\cfrac {b}{2}}\,\cosh {\cfrac {c}{2}}}}}
tan ⁡ A 2 = Δ 1 + α + β + γ {\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {\Delta }{1+\alpha +\beta +\gamma }}}