Goldmans ekvation

Goldmans ekvation används inom cellmembranfysiologin för att bestämma jämviktspotentialen över ett cellmembran som ges av de joner för vilka membranet är permeabelt.

Ekvation för envärda joner

Goldmans ekvation för N {\displaystyle N} stycken envärda positiva joner och M {\displaystyle M} negativa:

E m = R T F ln ⁡ ( ∑ i N P M i + [ M i + ] o u t + ∑ j M P A j − [ A j − ] i n ∑ i N P M i + [ M i + ] i n + ∑ j M P A j − [ A j − ] o u t ) {\displaystyle E_{m}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {\sum _{i}^{N}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {out} }+\sum _{j}^{M}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {in} }}{\sum _{i}^{N}P_{M_{i}^{+}}[M_{i}^{+}]_{\mathrm {in} }+\sum _{j}^{M}P_{A_{j}^{-}}[A_{j}^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}

Detta resulterar i följande om vi utgår från ett membran som separerar två K x N a 1 − x C l {\displaystyle \mathrm {K} _{x}\mathrm {Na} _{1-x}\mathrm {Cl} } -lösningar:

E m , K x N a 1 − x C l = R T F ln ⁡ ( P N a + [ N a + ] o u t + P K + [ K + ] o u t + P C l − [ C l − ] i n P N a + [ N a + ] i n + P K + [ K + ] i n + P C l − [ C l − ] o u t ) {\displaystyle E_{m,\mathrm {K} _{x}\mathrm {Na} _{1-x}\mathrm {Cl} }={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{Na^{+}}[Na^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{K^{+}}[K^{+}]_{\mathrm {out} }+P_{Cl^{-}}[Cl^{-}]_{\mathrm {in} }}{P_{Na^{+}}[Na^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{K^{+}}[K^{+}]_{\mathrm {in} }+P_{Cl^{-}}[Cl^{-}]_{\mathrm {out} }}}\right)}}

Ekvationen liknar Nernsts ekvation men har en term för varje jon. Nernsts ekvation kan ses som ett specialfall av Goldmans ekvation då enbart en jontyp finns:

E m , N a = R T F ln ⁡ ( P N a + [ N a + ] o u t P N a + [ N a + ] i n ) = R T F ln ⁡ ( [ N a + ] o u t [ N a + ] i n ) {\displaystyle E_{m,Na}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {P_{Na^{+}}[Na^{+}]_{\mathrm {out} }}{P_{Na^{+}}[Na^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}={\frac {RT}{F}}\ln {\left({\frac {[Na^{+}]_{\mathrm {out} }}{[Na^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}
  • E m {\displaystyle E_{m}} = membranpotential (i volt, ekvivalent med joule/coulomb)
  • P i o n {\displaystyle P_{\mathrm {ion} }} = permeabilitet för jonen (m/s)
  • [ i o n ] o u t {\displaystyle [ion]_{\mathrm {out} }} = extracellulär jonkoncentration (mol/m3)
  • [ i o n ] i n {\displaystyle [ion]_{\mathrm {in} }} = intracellulär koncentration (som ovan)
  • R {\displaystyle R} = ideala gaskonstanten (joule per kelvin per mol)
  • T {\displaystyle T} = temperatur i kelvin
  • F {\displaystyle F} = Faradays konstant (coulomb/mol)

Första termen innan parentesen kan avrundas till 61,5mV (37°C kroppstemperatur).

E X = 61 , 5   m V log ⁡ ( [ X + ] o u t [ X + ] i n ) = − 61 , 5   m V log ⁡ ( [ X − ] o u t [ X − ] i n ) {\displaystyle E_{X}=61,5\ \mathrm {mV} \log {\left({\frac {[X^{+}]_{\mathrm {out} }}{[X^{+}]_{\mathrm {in} }}}\right)}=-61,5\ \mathrm {mV} \log {\left({\frac {[X^{-}]_{\mathrm {out} }}{[X^{-}]_{\mathrm {in} }}}\right)}}

Obs! Jonladdning avgör tecknet för membranpotentialens bidrag.

Ekvationen tillåter uträkning av membranpotential i de fall permeabiliteten hos jonerna är kända.