Apérys konstant (ζ(3)) |
Irrationella tal ζ(3) – E – e – γ – δ – φ – √2 – √3 – √5 – π – ρ – ρ – δS – 12√2 |
Decimalutveckling | 1,20205 69031 59594 ... |
---|
Apérys konstant, uppkallad efter den grekisk-franske matematikern Roger Apéry, är en matematisk konstant som definieras som
![{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}+{\frac {1}{6^{3}}}+{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{8^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}+\cdots \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c48e2422cb04ff8eedad09e1bdcabb12e7feee)
där
är Riemanns zetafunktion. Apéry visade att
är ett irrationellt tal. Dess approximativa värde är[1]
![{\displaystyle \zeta (3)=1,20205\;69031\;59594\;28539\;97381\;61511\;44999\;07649\;86292\;...\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad133f7317d4e67e25ac58daa826cbb401421c3)
Serierepresentationer
Flera kända matematiker, såsom Euler och Ramanujan, har hittat ett flertal serier för Apérys konstant. Följande är en av Eulers formler:[2]
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left[1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{(2k+1)(2k+2)2^{2k}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886d279e5edea854b33428eb4d8b194355adf377)
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b786732ab9ec65d7792e594026e43d1cb659188c)
[3]
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12e38c191d503ffe6dc086480844aa0159c96b76)
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e9290601e6ac6ce841ec43438f37adaa236682)
![{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68cc7b961d18326e03c692047f80f79469463802)
![{\displaystyle \zeta (3)={\tfrac {1}{2}}\sum _{j=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{jk(j+k)}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8033e3ac4a78cff2df812a6c9d165fc88ab4800e)
[4][5][6]
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {56k^{2}-32k+5}{(2k-1)^{2}}}{\frac {(k-1)!^{3}}{(3k)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632494ec1f1813049b086ad3eba559c4dce2dd3f)
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}-{\frac {8}{7}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}\,2^{-5+12\,k}\,k\,\left(-3+9\,k+148\,k^{2}-432\,k^{3}-2688\,k^{4}+7168\,k^{5}\right)\,{k!}^{3}\,{\left(-1+2\,k\right)!}^{6}}{{\left(-1+2\,k\right)}^{3}\,\left(3\,k\right)!\,{\left(1+4\,k\right)!}^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca176214b7bc85c41c12b9f230c333c62bcf95ef)
![{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {205k^{2}+250k+77}{64}}{\frac {k!^{10}}{(2k+1)!^{5}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7715457a768a2a37778cb91d99fb02262d3876)
![{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {P(k)}{24}}{\frac {((2k+1)!(2k)!k!)^{3}}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a0bf3239881efe0c34f5a70eeff4d34006901b)
där
![{\displaystyle P(k)=126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b45fa4657ba644151bc08487622dc90418618e9)
En snabbt konvergerande serie av Tewodros Amdeberhan och Doron Zeilberger (1997):
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {A(n)\cdot (2n+1)!^{3}\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{3}}{(3n+2)!\cdot (4n+3)!^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab7634e6550c348e138ecff7465e519faf284c5)
där
.
En serie av Srinivasa Aiyangar Ramanujan:[7]
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {7\pi ^{3}}{180}}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6756c00717745ecb5bf56a984f2c2c03c0c2f0bc)
Simon Plouffe har utvecklat liknande serier:
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{3}}{28}}+{\frac {16}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}+1)}}-{\frac {2}{7}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125bf7148c77095af2ef521353609b5ea893423a)
![{\displaystyle \zeta (3)=28\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{\pi n}-1)}}-37\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{2\pi n}-1)}}+7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(e^{4\pi n}-1)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988edbf0c18fecbb74d529cd8890b37c5bb02183)
Integralrepresentationer
Några integralrepresentationen är
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {2\pi ^{2}}{7}}\log 2+{\frac {16}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\log(\sin x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81aa1554600fcb0a8eff7adf45875e93e02305e2)
![{\displaystyle \zeta (3)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z}{1-xyz}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b1b2730421b3e442673952f8359540224b1b6e)
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f59d0a37cf962d64f5d798ef38cb7106f77264d)
![{\displaystyle \zeta (3)={\frac {2}{3}}\pi ^{3}\int _{0}^{1}x(x-{\frac {1}{2}})(x-1)\cot(\pi x)\mathrm {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b753ea63253049b0b33f8ad9c7903d93bb51ee)
Apérys konstant kan uttryckas med hjälp av tetragammafunktionen:
![{\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\,\psi ^{(2)}(1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c61161665b4e724ba0b7fdf4538bbdfeafb2a3e)
Den är också ett specialfall av trilogaritmen:
![{\displaystyle \zeta (3)=\mathrm {Li} _{3}(1){\frac {}{}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bae268bcdad5d94316b16f85166fafd27467b57)
En intressant oändlig produkt över primtalen är
![{\displaystyle \zeta (3)=\prod _{p\ \mathrm {primtal} }{\frac {1}{1-p^{-3}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f93eb5531535470e7be7672410cad5fdf02376b)
Se även
Referenser
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Apéry's constant, 1 november 2013.
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från ryskspråkiga Wikipedia, Постоянная Апери, 5 november 2013.
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från japanskspråkiga Wikipedia, アペリーの定数, 5 november 2013.
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från tyskspråkiga Wikipedia, Apéry-Konstante, 25 november 2013.
Noter
- ^ Wedeniwski, Sebastian (2001). Simon Plouffe. red. The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places. Project Gutenberg. http://www.gutenberg.org/cache/epub/2583/pg2583.html
- ^ Euler, Leonhard (1773). ”Exercitationes analyticae” (på latin). Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 17: sid. 173–204. http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf. Läst 18 maj 2008.
- ^ Plouffe, Simon (1998). ”Identities inspired from Ramanujan Notebooks II”. Arkiverad från originalet den 30 januari 2009. https://web.archive.org/web/20090130142844/http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html. Läst 15 november 2021.
- ^ Markov, A. A. (1890). ”Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes”. Mém. De l'Acad. Imp. Sci. De St. Pétersbourg t. XXXVII, No. 9: sid. 18pp.
- ^ Hjortnaes, M. M. (augusti 1953). ”Overføring av rekken
til et bestemt integral”. Proc. 12th Scandinavian Mathematical Congress. Lund, Sweden: Scandinavian Mathematical Society. sid. 211–213 - ^ Apéry, Roger (1979). ”Irrationalité de
et
”. Astérisque 61: sid. 11–13. http://www.numdam.org/item/AST_1979__61__11_0/. - ^ Berndt, Bruce C. (1989). Ramanujan's notebooks, Part II. Springer