Centripetalna sila

Centripetalna sila (od latinskih reči centrum, „centar” i petere, „tražiti”^[1]) je sila koja uzrokuje da telo sledi zakrivljenu putanju. Njen pravac je uvek ortogonalan na vektor brzine tela u datoj tački i usmeren je prema centru zakrivljenosti putanje.

Najjednostavniji slučaj delovanja centripetalne sile je kružno kretanje u kojem se telo kreće konstantnom brzinom po kružnici. Centripetalna sila je u ovom slučaju usmerena duž poluprečnika kruga od tačke u kojoj se telo u datom trenutku nalazi ka centru kruga.^[2][3]

Matematički opis kretanja tela po kružnoj putanji izveo je holandski fizičar Kristijan Hajgens 1659. godine.^[4] Isak Njutn je centripetalnu silu opisao kao „silu kojom se tela povlače ili prisiljavaju, ili na bilo koji način teže ka tački kao centru”.^[5] U Njutnovoj mehanici, sila gravitacija je centripetalna sila koja je odgovorna za orbitalna kretanja planeta, satelita, itd.

Pojam centrifugalne sile se objašnjava preko centripetalne sile. Centripetalna sila je realna sila koja deluje na telo pri kružnom kretanju gledano iz stacionarnog inercijalnog sistema referencije. U pokretnom neinercijalnom sistemu referencije vezanom za telo koje rotira, ne vidi se centripetalna sila, ali da bi se objasnilo kretanje tela uvodi se centrifugalna sila koja ima isti intenzitet i pravac kao centripetalna sila, ali je suprotnog smera u odnosu na centripetalnu silu i usmerena je od centra zakrivljene putanje ka telu.

Centripetalna sila koja deluje na objekt mase m koji se kreće po kružnici je zadata Drugim Njutnovim zakonom:

${\displaystyle F_{c}=ma_{c}}$

gde je ${\displaystyle a_{c}}$ centripetalno ubrzanje koje se za telo koje se kreće tangencijalnom brzinom v duž puta radijusa zakrivljenosti r može izračunati kao:^[6]

${\displaystyle a_{c}={\frac {v}{t}}{\hat {r}}={\frac {r\omega }{t}}{\hat {r}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$

tako da za centripetalnu silu važi:

${\displaystyle F_{c}=ma_{c}={\frac {mv^{2}}{r}}}$

$${\displaystyle a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}}$$

gde je ${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$ razlika između vektora brzine. Pošto vektori brzine u gornjem dijagramu imaju konstantnu veličinu i pošto je svaki okomit na svoj odgovarajući vektor položaja, jednostavno oduzimanje vektora podrazumeva dva slična jednakokraka trougla sa kongruentnim uglovima – jedan koji sadrži osnovu od ${\displaystyle \Delta {\textbf {v}}}$ i dužinu noge od ${\displaystyle v}$, a drugi osnovu od ${\displaystyle \Delta {\textbf {r}}}$ (razlika u vektoru položaja) i dužina noge od ${\displaystyle r}$:^[7]

$${\displaystyle {\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{v}}={\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{r}}}$$

$${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|={\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$$

Stoga, ${\displaystyle |\Delta {\textbf {v}}|}$ može se zameniti sa ${\displaystyle {\frac {v}{r}}|\Delta {\textbf {r}}|}$:^[7]

$${\displaystyle a_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}}={\frac {v}{r}}\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=\omega \lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {r}}|}{\Delta t}}=v\omega ={\frac {v^{2}}{r}}}$$

pravac sile je ka centru kružnice u kojoj se objekat kreće, odnosno oskulirajućim krugom (krug koji najbolje odgovara lokalnoj putu, ako putanja nije kružna).^[8] Brzina u formuli je na kvadrat, tako da je za dvostruku brzinu potrebna četiri puta veća sila. Inverzni odnos sa radijusom krivine pokazuje da je za pola radijalnog rasta potrebna dvostruko veća sila.

Centripetalna sila se ponekad izražava preko ugaone brzine objekta ω koji rotira oko centra kruga. Ugaona brzina je vezana za tangencijalnu brzinu formulom

${\displaystyle v=\omega r}$

tako da je centripetalna sila preko ugaone brzine izražena kao:

${\displaystyle F_{c}=mr\omega ^{2}\,.}$

Centripetalna sila se za periodična kretanja može izraziti i preko perioda T , odnosno vremena potrebnom da telo napravi pun obrt oko centra kruga. Kako je veza između ugaone brzine i perioda ${\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}\,}$, jednačina za centripetalnu silu postaje:

${\displaystyle F_{c}=mr\left({\frac {2\pi }{T}}\right)^{2}.}$^[9]

U akceleratorima čestica, brzina čestica može biti veoma visoka (uporediva sa brzinom svetlosti u vakuumu). Za kretanje kod tako velikih relativističkih brzina ne važi klasična mehanika, već se mora koristiti fizika specijalne relativnosti.

Izraz za centripetalnu silu pri relativističkom kretanju je:^[10]

${\displaystyle F_{c}={\frac {\gamma mv^{2}}{r}}=\gamma mv\omega }$

gde je

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Lorencov faktor.^[11][12]

U slučaju predmeta koji se ljulja oko kraja užeta u horizontalnoj ravni, centripetalna sila na predmet se obezbeđuje zatezanjem užeta. Primer užeta je primer koji uključuje silu 'povlačenja'. Centripetalna sila se takođe može isporučiti kao sila 'guranja', kao na primer u slučaju kada normalna reakcija zida obezbeđuje centripetalnu silu za zid smrti ili vozača rotora.

Njutnova ideja o centripetalnoj sili odgovara onome što se danas naziva centralnom silom. Kada je satelit u orbiti oko planete, gravitacija se smatra centripetalnom silom iako je u slučaju ekscentričnih orbita gravitaciona sila usmerena ka fokusu, a ne prema trenutnom centru zakrivljenosti.^[14]

Drugi primer centripetalne sile nastaje u spirali koja se nalazi kada se naelektrisana čestica kreće u uniformnom magnetnom polju u odsustvu drugih spoljnih sila. U ovom slučaju, magnetna sila je centripetalna sila koja deluje prema osi spirale.

Za telo koje pomoću užeta rotira u horizontalnoj ravni, u ulozi centripetalne sile koja izaziva kružno kretanje tela je sila zatezanja užeta. U ovom slučaju centripetalna sila je sila povlačenja. Centripetalna sila može biti pružena i kao sila guranja, kao u slučaju kada normalna reakcija zida pruža centripetalnu silu vozaču na zidu smrti.

Kada naelektrisana čestica uđe u uniformno magnetno polje pod pravim uglom u odnosu na pravac polja, magnetna sila će biti centripetalna sila za naelektrisanu česticu i u odsustvu drugih spoljašnjih sila, čestica će se kretati po spirali oko magnetnog polja. Kada naelektrisana čestica izgubi svoju brzinu, kretaće se po kružnici oko ose magnetnog polja.

Ispod su data tri primera sve veće složenosti, sa izvođenjem formula za brzinu i ubrzanje.

Ravnomerno kružno kretanje se odnosi na slučaj konstantne brzine rotacije. Slede dva pristupa opisa ovog slučaja.

U dve dimenzije, vektor položaja ${\displaystyle {\textbf {r}}}$, koji ima veličinu (dužinu) ${\displaystyle r}$ i usmeren pod uglom ${\displaystyle \theta }$ iznad x-ose, može se izraziti u Dekartovim koordinatama pomoću jediničnih vektora ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ and ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$:^[15] $${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\theta ){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\theta ){\hat {\mathbf {y} }}.}$$

Pretpostavka o ravnomernom kružnom kretanju zahteva tri uslova:

• Objekat se kreće samo po krugu.
• Poluprečnik kruga ${\displaystyle r}$ se ne menja tokom vremena.
• Objekat se kreće konstantnom ugaonom brzinom ${\displaystyle \omega }$ oko kruga. Prema tome, ${\displaystyle \theta =\omega t}$ gde je ${\displaystyle t}$ vreme.

Brzina ${\displaystyle {\textbf {v}}}$ kretanja i ubrzanje ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ su prvi i drugi derivati položaja u odnosu na vreme:

$${\displaystyle {\textbf {r}}=r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}$$ $${\displaystyle {\textbf {v}}={\dot {\textbf {r}}}=-r\omega \sin(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\omega \cos(\omega t){\hat {\mathbf {y} }},}$$ $${\displaystyle {\textbf {a}}={\ddot {\textbf {r}}}=-\omega ^{2}(r\cos(\omega t){\hat {\mathbf {x} }}+r\sin(\omega t){\hat {\mathbf {y} }}).}$$

Termin u zagradi je originalni izraz ${\displaystyle {\textbf {r}}}$ u Dekartovim koordinatama. Sledstveno, $${\displaystyle {\textbf {a}}=-\omega ^{2}{\textbf {r}}.}$$ negativna vrednost pokazuje da je ubrzanje usmereno ka centru kruga (nasuprot poluprečnika), te se zato naziva „centripetalno” (tj. „tražeći centar”). Dok objekti prirodno prate pravu putanju (zbog inercije), ovo centripetalno ubrzanje opisuje kružnu putanju kretanja uzrokovanu centripetalnom silom.

Slika desno prikazuje vektorske odnose za ravnomerno kružno kretanje. Sama rotacija je predstavljena vektorom ugaone brzine Ω, koji je normalan na ravan orbite (pomoću pravila desne ruke) i ima veličinu datu kao:

${\displaystyle |\mathbf {\Omega } |={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=\omega \ ,}$

sa θ ugaonim položajem u trenutku t. U ovom pododeljku, dθ/dt se pretpostavlja da je konstantno, nezavisno od vremena. Pređeno rastojanje dℓ čestice za vreme dt duž kružne putanje je

${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\mathrm {d} t\ ,}$

koje po svojstvima vektorskog unakrsnog proizvoda ima magnitudu rdθ i nalazi se u pravcu tangente na kružnu putanju.

Shodno tome,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}=\lim _{{\Delta }t\to 0}{\frac {\mathbf {r} (t+{\Delta }t)-\mathbf {r} (t)}{{\Delta }t}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}{\mathrm {d} t}}\ .}$

Drugim rečima,

${\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {\boldsymbol {\ell }} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\ .}$

Diferencirajući u odnosu na vreme, $${\displaystyle \mathbf {a} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{d\mathrm {t} }}=\mathbf {\Omega } \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} (t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {\Omega } \times \left[\mathbf {\Omega } \times \mathbf {r} (t)\right]\ .}$$

Lagranžova formula navodi: $${\displaystyle \mathbf {a} \times \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)=\mathbf {b} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \right)-\mathbf {c} \left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right)\ .}$$

Primenjujući Lagranžovu formulu uz zapažanje da je Ω • r(t) = 0 u svakom trenutku, $${\displaystyle \mathbf {a} =-{|\mathbf {\Omega |} }^{2}\mathbf {r} (t)\ .}$$

Rečju, ubrzanje je usmereno direktno suprotno od radijalnog pomeranja r u svakom trenutku i ima magnitudu: $${\displaystyle |\mathbf {a} |=|\mathbf {r} (t)|\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}=r{\omega }^{2}}$$

gde vertikalne šipke |...| označavaju vektorsku veličinu, koja je u slučaju r(t) jednostavno poluprečnik r putanje. Ovaj rezultat se slaže sa prethodnim odeljkom, iako je notacija malo drugačija.

Kada se brzina rotacije učini konstantnom u analizi neujednačenog kružnog kretanja, ta analiza se slaže sa ovom.

Prednost vektorskog pristupa je u tome što je očigledno nezavisan od bilo kog koordinatnog sistema.

Gornji panel na slici desno prikazuje loptu u kružnom kretanju na nagnutoj krivini. Kriva je nagnuta pod uglom θ u odnosu na horizontalu, a površina puta se smatra klizavom. Cilj je pronaći koji ugao mora imati bankina da lopta ne sklizne sa puta.^[16] Intuicija nam govori da će, na ravnoj krivini bez ikakvog nagiba, lopta jednostavno skliznuti sa puta; dok sa veoma strmim nagibom, lopta će kliziti do centra osim ako brzo putuje krivinom.

Osim bilo kakvog ubrzanja koje se može dogoditi u pravcu putanje, donji panel gornje slike pokazuje sile na loptu. Postoje dve sile; jedna je sila gravitacije vertikalno nadole kroz centar mase lopte mg, gde je m masa lopte, a g gravitaciono ubrzanje; druga je normalna sila naviše koju vrši put pod pravim uglom u odnosu na površinu puta ma_n. Centripetalna sila koju zahteva zakrivljeno kretanje je takođe prikazana iznad. Ova centripetalna sila nije treća sila primenjena na loptu, već se mora obezbediti neto silom na loptu koja je rezultat vektorskog sabiranja normalne sile i sile gravitacije. Rezultantna ili neto sila na lopti pronađena vektorskim sabiranjem normalne sile koju vrši put i vertikalne sile usled gravitacije mora biti jednaka centripetalnoj sili koju diktira potreba da se putuje kružnom putanjom. Zakrivljeno kretanje se održava sve dok ova neto sila obezbeđuje centripetalnu silu potrebnu za kretanje.

Horizontalna neto sila na loptu je horizontalna komponenta sile od puta, koja ima magnitudu |F_h| = m|a_n| sin θ. Vertikalna komponenta sile od puta mora da se suprotstavi gravitacionoj sili: |F_v| = m|a_n| cos θ = m|g|, što implicira |a_n| = |g| / cos θ. Zamena u gornju formulu za |F_h| daje horizontalnu silu koja je: $${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {h} }|=m|\mathbf {g} |{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}=m|\mathbf {g} |\tan \theta \,.}$$

S druge strane, pri brzini |v| na kružnoj putanji poluprečnika r, kinematika kaže da je sila potrebna da se lopta neprekidno okreće u zaokretu radijalno unutra centripetalna sila F_c magnitude: $${\displaystyle |\mathbf {F} _{\mathrm {c} }|=m|\mathbf {a} _{\mathrm {c} }|={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,.}$$

Sledstveno, lopta je na stabilnoj putanji kada je ugao puta postavljen tako da se zadovolji uslov: $${\displaystyle m|\mathbf {g} |\tan \theta ={\frac {m|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\,,}$$ ili, $${\displaystyle \tan \theta ={\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{|\mathbf {g} |r}}\,.}$$

Kako se ugao nagiba θ približava 90°, tangentna funkcija se približava beskonačnosti, dozvoljavajući veće vrednosti za |v|²/r. Ova jednačina navodi da za veće brzine (veće |v|) put mora biti strmije nagnut (veća vrednost za θ), a za oštrija skretanja (manje r) put takođe mora biti strmije nagnut, što je u skladu sa intuicijom. Kada ugao θ ne zadovoljava gornji uslov, horizontalna komponenta sile koju vrši put ne obezbeđuje ispravnu centripetalnu silu, a dodatna sila trenja tangencijalna na površinu puta se poziva da obezbedi razliku. Ako trenje to ne može da uradi (tj. koeficijent trenja je prekoračen), lopta klizi na drugi radijus gde se ravnoteža može ostvariti.^[17][18]

Ove ideje važe i za vazdušni let. Pogledajte uputstvo za FAA pilote.^[19]

Kao generalizacija slučaja ravnomernog kružnog kretanja, pretpostavimo da ugaona brzina rotacije nije konstantna. Ubrzanje sada ima tangencijalnu komponentu, kao što je prikazano na slici desno. Ovaj slučaj se koristi za demonstriranje strategije derivacije zasnovane na polarnom koordinatnom sistemu.

Neka je r(t) vektor koji opisuje položaj tačke mase kao funkciju vremena. Pošto se pretpostavlja kružno kretanje, neka je r(t) = R·u_r, gde je R konstanta (poluprečnik kruga), a u_r je jedinični vektor koji ide od koordinatnog početka do tačke mase. Pravac u_r je opisan sa θ, uglom između x-ose i jediničnog vektora, mereno u smeru suprotnom od kazaljke na satu od x-ose. Drugi jedinični vektor za polarne koordinate, u_θ je okomit na u_r i usmeren je u pravcu povećanja θ. Ovi polarni jedinični vektori mogu se izraziti u vidu Dekartovih jediničnih vektora u x i y pravcima, označeni kao ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}}$ i ${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}}$, respektivno:^[20] $${\displaystyle \mathbf {u} _{r}=\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}}$$ and $${\displaystyle \mathbf {u} _{\theta }=-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}.}$$

Može se diferencirati da bi se pronašla brzina: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=r{\frac {d\mathbf {u} _{r}}{dt}}\\&=r{\frac {d}{dt}}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\cos \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\sin \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\left(-\sin \theta \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \theta \ {\hat {\mathbf {j} }}\right)\\&=r{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }\\&=\omega r\mathbf {u} _{\theta }\end{aligned}}}$$ gde je ω ugaona brzina dθ/dt.

Ovaj rezultat za brzinu odgovara očekivanjima da brzina treba da bude usmerena tangencijalno na krug i da veličina brzine treba da bude rω. Ponovnim diferenciranjem i konstatacijom da $${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\theta }}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {u} _{r}=-\omega \mathbf {u} _{r}\ ,}$$ nalazi se da je ubrzanje a: $${\displaystyle \mathbf {a} =r\left({\frac {d\omega }{dt}}\mathbf {u} _{\theta }-\omega ^{2}\mathbf {u} _{r}\right)\ .}$$

Dakle, radijalne i tangencijalne komponente ubrzanja su: $${\displaystyle \mathbf {a} _{r}=-\omega ^{2}r\ \mathbf {u} _{r}=-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{r}}\ \mathbf {u} _{r}}$$ and $${\displaystyle \mathbf {a} _{\theta }=r\ {\frac {d\omega }{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }={\frac {d|\mathbf {v} |}{dt}}\ \mathbf {u} _{\theta }\ ,}$$ gde je |v| = r ω magnituda brzine.

Ove jednačine matematički izražavaju da se, u slučaju objekta koji se kreće duž kružne putanje sa promenljivom brzinom, ubrzanje tela može razložiti na okomitu komponentu koja menja smer kretanja (centripetalno ubrzanje) i paralelu, ili tangencijalna komponenta, koja menja brzinu.

Vektor položaja r, uvek usmeren radijalno od koordinatnog početka

Vektor brzine v, uvek tangentan na putanju kretanja.

Vektor ubrzanja a, nije paralelan sa radijalnim kretanjem, već je pomeren ugaonim i Koriolisovim ubrzanjem, niti je tangentan na putanju, već je pomeren centripetalnim i radijalnim ubrzanjima.

Kinematički vektori u ravnim polarnim koordinatama. Obratite pažnju da podešavanje nije ograničeno na 2d prostor, već na ravan u bilo kojoj višoj dimenziji.

Gore navedeni rezultati mogu se možda jednostavnije izvesti u polarnim koordinatama, i istovremeno proširiti na opšte kretanje unutar ravni, kao što je prikazano u nastavku. Polarne koordinate u ravni koriste radijalni jedinični vektor u_ρ i ugaoni jedinični vektor u_θ, kao što je prikazano iznad.^[21] Čestica na poziciji r je opisana sa:

$${\displaystyle \mathbf {r} =\rho \mathbf {u} _{\rho }\ ,}$$

gde se oznaka ρ koristi da opiše rastojanje putanje od koordinatnog početka umesto R da bi se naglasilo da ovo rastojanje nije fiksno, već da varira sa vremenom. Jedinični vektor u_ρ putuje sa česticom i uvek je usmeren u istom pravcu kao r(t). Jedinični vektor u_θ takođe putuje sa česticom i ostaje ortogonalan na u_ρ. Dakle, u_ρ i u_θ formiraju lokalni Dekartov koordinatni sistem vezan za česticu i vezan za putanju koju je prešla čestica.^[22] Pomeranjem jediničnih vektora tako da im se repovi poklapaju, kao što se vidi u krugu levo na slici iznad, vidi se da u_ρ i u_θ formiraju par pod pravim uglom sa vrhovima na jediničnom krugu koji se kreću napred-nazad po obodu ovog kruga sa istim uglom θ(t) kao r(t).

Kada se čestica kreće, njena brzina je

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}\,.}$

Za procenu brzine potreban je izvod jediničnog vektora u_ρ. Pošto je u_ρ jedinični vektor, njegova veličina je fiksna i može se menjati samo u pravac, odnosno njegova promena du_ρ ima komponentu samo upravnu na u_ρ. Kada trajektorija r(t) rotira za iznos dθ, u_ρ, koji je usmeren u istom pravcu kao i r(t), on takođe rotira za dθ. Vidi sliku iznad. Prema tome, promena u_ρ je

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }=\mathbf {u} _{\theta }\mathrm {d} \theta \,,}$

ili

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,.}$

Na sličan način je pronalazi brzina promene u_θ. Kao i kod u_ρ, u_θ je jedinični vektor i može samo da se rotira bez promene veličine. Da ostane ortogonalan na u_ρ dok trajektorija r(t) rotira za iznos dθ, u_θ, koji je ortogonalan na r(t), takođe rotira za dθ. Vidi sliku iznad. Prema tome, promena du_θ je ortogonalna na u_θ i proporcionalna sa dθ (pogledajte sliku iznad):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }\,.}$

Jednačina iznad pokazuje da je predznak negativan: da bi se održala ortogonalnost, ako je du_ρ pozitivan sa dθ, onda du_θ mora da se smanji.

Zamena derivata u_ρ u izraz za brzinu:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\rho }+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}=v_{\rho }\mathbf {u} _{\rho }+v_{\theta }\mathbf {u} _{\theta }=\mathbf {v} _{\rho }+\mathbf {v} _{\theta }\,.}$

Da bi se dobilo ubrzanje, vrši se još jedno vremenska diferencijacija:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\rho }}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\,.}$

Zamenom derivata od u_ρ i u_θ, ubrzanje čestice je:^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &={\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}\mathbf {u} _{\rho }+2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}-\rho \mathbf {u} _{\rho }\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\rho \mathbf {u} _{\theta }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\ ,\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}\rho }{\mathrm {d} t^{2}}}-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[2{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]\\&=\mathbf {u} _{\rho }\left[{\frac {\mathrm {d} v_{\rho }}{\mathrm {d} t}}-{\frac {v_{\theta }^{2}}{\rho }}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {2}{\rho }}v_{\rho }v_{\theta }+\rho {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {v_{\theta }}{\rho }}\right]\,.\end{aligned}}}$

Kao poseban primer, ako se čestica kreće u krugu konstantnog radijusa R, onda je dρ/dt = 0, v = v_θ, i:

$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {u} _{\rho }\left[-\rho \left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[\rho {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}\right]=\mathbf {u} _{\rho }\left[-{\frac {v^{2}}{r}}\right]+\mathbf {u} _{\theta }\left[{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\right]\ }$$

gde je ${\displaystyle v=v_{\theta }.}$

Ovi rezultati se slažu sa onima iznad za neujednačeno kružno kretanje. Pogledajte i članak o neujednačenom kružnom kretanju. Ako se ovo ubrzanje pomnoži sa masom čestice, vodeći član je centripetalna sila, a negativna vrednost drugog člana koji se odnosi na ugaono ubrzanje se ponekad naziva Ojlerova sila.^[24]

Za putanje koje nisu kružno kretanje, na primer, opštiju putanju prikazanu na gornjoj slici, trenutni centar rotacije i poluprečnik krivine putanje su povezani samo indirektno sa koordinatnim sistemom definisanim sa u_ρ i u_θ i sa dužinom |r(t)| = ρ. Shodno tome, u opštem slučaju, nije jednostavno odvojiti centripetalne i Ojlerove članove iz gornje opšte jednačine ubrzanja.^[25][26] Da bi se direktno adresiralo ovo pitanje, poželjnije su lokalne koordinate, kao što će biti reči u nastavku.

Lokalne koordinate označavaju skup koordinata koje putuju sa česticom,^[27] i imaju orijentaciju koja je određena putanjom čestice.^[28] Jedinični vektori se formiraju kao što je prikazano na slici desno, oba, tangencijalni i normalni na putanju. Ovaj koordinatni sistem se ponekad naziva unutrašnjim koordinatama ili koordinatama putanje^[29][30] ili nt-koordinatama, za normalno-tangencijalno, koje se odnose na ove jedinične vektore. Ove koordinate su veoma poseban primer opštijeg koncepta lokalnih koordinata iz teorije diferencijalnih oblika.^[31]

Rastojanje duž putanje čestice je dužina luka s, za koju se smatra da je poznata funkcija vremena.

${\displaystyle s=s(t)\ .}$

Centar zakrivljenosti je definisan na svakoj poziciji s koja se nalazi na rastojanju ρ (poluprečnik krivine) od krive na liniji duž normale u_n (s). Zahtevano rastojanje ρ(s) na dužini luka s je definisano u smislu brzine rotacije tangente na krivu, koja je zauzvrat određena samom putanjom. Ako je orijentacija tangente u odnosu na neku početnu poziciju θ(s), onda je ρ(s) definisano izvodom dθ/ds:

${\displaystyle {\frac {1}{\rho (s)}}=\kappa (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$

Poluprečnik krive se obično uzima da je pozitivan (odnosno kao apsolutna vrednost), dok je zakrivljenost κ veličina sa predznakom.

Geometrijski pristup pronalaženju centra krivine i poluprečnika krivine koristi ograničavajući proces koji vodi do oskulacionog kruga.^[32][33] Vidi sliku iznad.

Koristeći ove koordinate, kretanje duž putanje se posmatra kao niz kružnih putanja stalno promenljivog centra, i na svakoj poziciji s predstavlja neujednačeno kružno kretanje na toj poziciji poluprečnika ρ. Lokalna vrednost ugaone brzine rotacije je tada data sa:

${\displaystyle \omega (s)={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\rho (s)}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {v(s)}{\rho (s)}}\ ,}$

sa lokalnom brzinom v datom sa:

${\displaystyle v(s)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\ .}$

Što se tiče ostalih primera iznad, pošto jedinični vektori ne mogu da menjaju veličinu, njihova brzina promene je uvek okomita na njihov pravac (pogledajte levi umetak na slici iznad):^[34]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)}{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {d\theta }{ds}}=\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s){\frac {1}{\rho }}\ ;}$ ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)}{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}=-\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {1}{\rho }}\ .}$

Prema tome, brzina i ubrzanje su:^[33][35][36]

${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ;}$

i koristeći lančano pravilo diferencijacije:

${\displaystyle \mathbf {a} (t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$ with the tangential acceleration ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\mathrm {d} } v}{\mathrm {\mathrm {d} } t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ {\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} s}}\ v\ .}$

U ovom lokalnom koordinatnom sistemu, ubrzanje liči na izraz za neujednačeno kružno kretanje sa lokalnim radijusom ρ(s), a centripetalno ubrzanje je identifikovano kao drugi član.^[37]

Proširivanje ovog pristupa na trodimenzionalne prostorne krive dovodi do Frenet-Seretovih formula.^[38][39]

Gledajući gornju sliku, neko bi se mogao zapitati da li je uzeta u obzir razlika u krivini između ρ(s) i ρ(s + ds) pri izračunavanju dužine luka kao ds = ρ(s)dθ. Uverenje po ovom pitanju može se naći korišćenjem formalnijeg pristupa koji je naveden u nastavku. Ovaj pristup uspostavlja vezu i sa člankom o zakrivljenosti.

Da bi se uveli jedinični vektori lokalnog koordinatnog sistema, jedan pristup je da se počne od Dekartovih koordinata i opišu lokalne koordinate u smislu ovih Dekartovih koordinata. U pogledu dužine luka s, neka putanja bude opisana kao:^[40] $${\displaystyle \mathbf {r} (s)=\left[x(s),\ y(s)\right].}$$

Tada se inkrementalno pomeranje duž putanje ds opisuje sa: $${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} (s)=\left[\mathrm {d} x(s),\ \mathrm {d} y(s)\right]=\left[x'(s),\ y'(s)\right]\mathrm {d} s\ ,}$$

gde se uvode prosti brojevi za označavanje izvoda u odnosu na s. Veličina ovog pomaka je ds, što pokazuje da:^[41]

${\displaystyle \left[x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right]=1\ .}$ (Eq. 1)

Ovo pomeranje je nužno tangenta na krivu u s, pokazujući da je jedinični vektor tangenta na krivu:

$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[x'(s),\ y'(s)\right],}$$

dok je spoljašnji jedinični vektor normalan na krivu

$${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[y'(s),\ -x'(s)\right],}$$

Ortogonalnost se može proveriti pokazujući da je skalarni proizvod vektor nula. Jedinična veličina ovih vektora je posledica jednačine 1. Koristeći vektor tangente, ugao θ tangente na krivu je dat sa:

$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=y'(s)\ ;}$$ and ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {x'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}=x'(s)\ .}$

Poluprečnik krivine se uvodi potpuno formalno (bez potrebe za geometrijskom interpretacijom) kao:

$${\displaystyle {\frac {1}{\rho }}={\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}\ .}$$

Izvod na θ se može naći iz onog za sinθ: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}=\cos \theta {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}\cos \theta \ ={\frac {1}{\rho }}x'(s)\ .}$$

Sada: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {y'(s)}{\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}}={\frac {y''(s)x'(s)^{2}-y'(s)x'(s)x''(s)}{\left(x'(s)^{2}+y'(s)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,}$$

u kome je imenilac jedinica. Sa ovom formulom za izvod sinusa, poluprečnik krivine postaje:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{\rho }}=y''(s)x'(s)-y'(s)x''(s)={\frac {y''(s)}{x'(s)}}=-{\frac {x''(s)}{y'(s)}}\ ,}$$

gde ekvivalencija oblika proizilazi iz diferencijacije jednačine 1:

$${\displaystyle x'(s)x''(s)+y'(s)y''(s)=0\ .}$$

Sa ovim rezultatima, ubrzanje se može naći da je:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (s)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {v} (s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\left(x'(s),\ y'(s)\right)\right]\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\left(x''(s),\ y''(s)\right)\\&=\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-\left({\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}{\frac {1}{\rho }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\end{aligned}}}$$

što se može proveriti uzimanjem skalarnog proizvoda sa jediničnim vektorima u_t(s) i u_n(s). Ovaj rezultat za ubrzanje je isti kao i za kružno kretanje zasnovano na poluprečniku ρ. Koristeći ovaj koordinatni sistem u inercijalnom okviru, lako je identifikovati silu koja je normalna na putanju kao centripetalnu silu, a onu paralelnu sa putanjom kao tangencijalnu silu. Sa kvalitativnog stanovišta, putanja se može aproksimirati lukom kružnice za ograničeno vreme, i za ograničeno vreme se primenjuje određeni radijus krivine, te se centrifugalne i Ojlerove sile mogu analizirati na osnovu kružnog kretanja sa tim poluprečnikom.

Ovaj rezultat za ubrzanje se slaže sa onim ranije pronađenim. Međutim, u ovom pristupu, pitanje promene poluprečnika zakrivljenosti sa s se rešava potpuno formalno, u skladu sa geometrijskom interpretacijom, ali ne oslanjajući se na nju, čime se izbegavaju bilo kakva pitanja koja bi gornja slika mogla da sugeriše o zanemarivanju varijacije u ρ.

Da bismo ilustrovali gornje formule, neka su x, y dati kao:

${\displaystyle x=\alpha \cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ y=\alpha \sin {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

Onda je:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2}\ ,}$

koje se može prepoznati kao kružna putanja oko koordinatnog početka sa poluprečnikom α. Položaj s = 0 odgovara [α, 0] ili 3 sata. Da bi se koristio gornji formalizam, potrebni su derivati:

${\displaystyle y^{\prime }(s)=\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime }(s)=-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,}$

${\displaystyle y^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ;\ x^{\prime \prime }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\cos {\frac {s}{\alpha }}\ .}$

Sa ovim rezultatima, može se potvrditi da:

${\displaystyle x^{\prime }(s)^{2}+y^{\prime }(s)^{2}=1\ ;\ {\frac {1}{\rho }}=y^{\prime \prime }(s)x^{\prime }(s)-y^{\prime }(s)x^{\prime \prime }(s)={\frac {1}{\alpha }}\ .}$

Jedinični vektori se takođe mogu naći:

${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ;\ \mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)=\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]\ ,}$

koji služe da se pokaže da se s = 0 nalazi na poziciji [ρ, 0] i s = ρπ/2 at [0, ρ], što se slaže sa originalnim izrazima za x i y. Drugim rečima, s se meri u suprotnom smeru od kazaljke na satu oko kruga od 3 sata. Takođe, mogu se naći derivati ovih vektora:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)=-{\frac {1}{\alpha }}\left[\cos {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \sin {\frac {s}{\alpha }}\right]=-{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ;}$

${\displaystyle \ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)={\frac {1}{\alpha }}\left[-\sin {\frac {s}{\alpha }}\ ,\ \cos {\frac {s}{\alpha }}\right]={\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ .}$

Za dobijanje brzine i ubrzanja neophodna je vremenska zavisnost za s. Za kretanje suprotno od kazaljke na satu pri promenljivoj brzini v(t):

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\ dt^{\prime }\ v(t^{\prime })\ ,}$

gde je v(t) brzina i t vreme, i s(t = 0) = 0. Onda je:

${\displaystyle \mathbf {v} =v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\ ,}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)+v{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-v{\frac {1}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s){\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)-{\frac {v^{2}}{\alpha }}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }(s)\ ,}$

gde je već utvrđeno da je α = ρ. Ovo ubrzanje je standardni rezultat za neujednačeno kružno kretanje.

• Centrifugalna sila
• Ugaona brzina

Centripetalna sila на Викимедијиној остави.