În algebră, o matrice Vandermonde , numită după Alexandre-Théophile Vandermonde , este o matrice de forma[ 1] :
V = [ 1 α 1 α 1 2 … α 1 n − 1 1 α 2 α 2 2 … α 2 n − 1 1 α 3 α 3 2 … α 3 n − 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 α m α m 2 … α m n − 1 ] {\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\end{bmatrix}}} Determinantul unei matrici pătratice Vandermonde (m=n) poate fi exprimat astfel:[ 2]
det ( V ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α j − α i ) . {\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i}).}
Demonstrație Calculând determinantul cu formula lui Leibniz:
det ( V ) = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) ∏ i = 1 n α i σ ( i ) − 1 , {\displaystyle \det(V)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{\sigma (i)-1},} unde S n înseamnă mulțimea permutărilor lui Z ∩ [ 1 , n ] {\displaystyle \mathbb {Z} \cap [1,n]} , iar sgn(σ) este signatura permutării
Se demonstrează prin inducție că:
det ( V ) = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n ( α j − α i ) {\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})} Pentru (n=2), se verifică imediat. Pentru (n>2), executăm operația elementară
C i {\displaystyle C_{i}} ← C i − ( α 1 × C i − 1 ) {\displaystyle C_{i}-(\alpha _{1}\times C_{i-1})}
asupra coloanelor, scăzând din coloana n coloana (n-1) înmulțită cu coeficientul α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} , apoi din coloana (n-1) coloana (n-2) înmulțită cu α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} ..., din coloana 2 coloana 1 înmulțită cu α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} , - astfel încât în final pe prima linie să rămână 1 numai în poziția (1,1) și în rest zerouri. Determinantul rămâne neschimbat, și egal cu:
det ( V ) = | 1 0 0 … 0 1 α 2 − α 1 α 2 ( α 2 − α 1 ) … α 2 n − 2 ( α 2 − α 1 ) 1 α 3 − α 1 α 3 ( α 3 − α 1 ) … α 3 n − 2 ( α 3 − α 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 α n − α 1 α n ( α n − α 1 ) … α n n − 2 ( α n − α 1 ) | {\displaystyle \det(V)={\begin{vmatrix}1&0&0&\dots &0\\1&\alpha _{2}-\alpha _{1}&\alpha _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{2}^{n-2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\\1&\alpha _{3}-\alpha _{1}&\alpha _{3}(\alpha _{3}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{3}^{n-2}(\alpha _{3}-\alpha _{1})\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha _{n}-\alpha _{1}&\alpha _{n}(\alpha _{n}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{n}^{n-2}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\\end{vmatrix}}} Dezvoltând după prima linie:
det ( V ) = 1 × | α 2 − α 1 α 2 ( α 2 − α 1 ) … α 2 n − 2 ( α 2 − α 1 ) α 3 − α 1 α 3 ( α 3 − α 1 ) … α 3 n − 2 ( α 3 − α 1 ) ⋮ ⋮ ⋮ α n − α 1 α n ( α n − α 1 ) … α n n − 2 ( α n − α 1 ) | {\displaystyle \det(V)=1\times {\begin{vmatrix}\alpha _{2}-\alpha _{1}&\alpha _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{2}^{n-2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\\\alpha _{3}-\alpha _{1}&\alpha _{3}(\alpha _{3}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{3}^{n-2}(\alpha _{3}-\alpha _{1})\\\vdots &\vdots &&\vdots \\\alpha _{n}-\alpha _{1}&\alpha _{n}(\alpha _{n}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{n}^{n-2}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\\end{vmatrix}}} Conform proprietății de multiliniaritate a determinantului:
det ( V ) = ( α 2 − α 1 ) ( α 3 − α 1 ) … ( α n − α 1 ) | 1 α 2 α 2 2 … α 2 n − 2 1 α 3 α 3 2 … α 3 n − 2 1 α 4 α 4 2 … α 4 n − 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 α n α n 2 … α n n − 2 | {\displaystyle \det(V)=(\alpha _{2}-\alpha _{1})(\alpha _{3}-\alpha _{1})\dots (\alpha _{n}-\alpha _{1}){\begin{vmatrix}1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-2}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-2}\\1&\alpha _{4}&\alpha _{4}^{2}&\dots &\alpha _{4}^{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&\alpha _{n}&\alpha _{n}^{2}&\dots &\alpha _{n}^{n-2}\\\end{vmatrix}}} de unde, prin inducție matematică , se obține rezultatul cerut.
Referințe ^ Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in matrix analysis, Cambridge University Press. See Section 6.1 ^ „copie arhivă”. Arhivat din original la 12 decembrie 2010 . Accesat în 24 noiembrie 2012 .