Ipoteza cobordismului

În matematică, ipoteza cobordismului, datorată lui John C. Baez^⁠(d) și James Dolan,^[1] se referă la clasificarea teoriilor topologice extinse ale câmpurilor cuantice (TQFT). În 2008, Jacob Lurie^⁠(d) a schițat o dovadă a ipotezei cobordismului, deși detaliile abordării sale nu au apărut încă în literatura de specialitate până în 2022.^[2] În 2021, Daniel Grady și Dmitri Pavlov au susținut o dovadă completă a ipotezei cobordismului, precum și o generalizare la bordisme^⁠(d) cu structuri geometrice arbitrare.^[3]

Formulare

Pentru o categorie monoidală simetrică $(\infty ,n)$ , ${\mathcal {C}}$ , care este complet dualizabilă și pentru care fiecare $k$ -morfism este adiabil, pentru $1\leq k\leq n-1$ , există o bijecție între functorii monoidali simetrici cu valori în ${\mathcal {C}}$ din categoria cobordismelor și obiectele din categoria ${\mathcal {C}}$ .

Motivație

Functorii monoidali simetrici din categoria cobordismelor corespund teoriilor topologice cuantice ale câmpurilor. Ipoteza cobordismului pentru teoriile topologice cuantice ale câmpurilor este analogul axiomelor Eilenberg-Steenrod pentru teoriile de homologie. Axiomele Eilenberg-Steenrod afirmă că o teorie de homologie este determinată în mod unic de valoarea sa pentru punct; în mod similar, ipoteza cobordismului afirmă că o teorie topologică cuantică a câmpurilor este determinată în mod unic de valoarea sa pentru punct. Cu alte cuvinte, bijecția dintre functorii monoidali simetrici cu valori în ${\mathcal {C}}$ și obiectele din ${\mathcal {C}}$ este determinată în mod unic de valoarea sa pentru punct.

Note

^ Baez, John C.; Dolan, James (1995). „Higher‐dimensional algebra and topological quantum field theory”. Journal of Mathematical Physics. 36 (11): 6073–6105. Bibcode:1995JMP....36.6073B. doi:10.1063/1.531236. ISSN 0022-2488.
^ Hisham Sati; Urs Schreiber (2011). Mathematical Foundations of Quantum Field Theory and Perturbative String Theory. American Mathematical Soc. p. 18. ISBN 978-0-8218-5195-1.
^ Eroare la citare: Etichetă <ref> invalidă; niciun text nu a fost furnizat pentru referințele numite grady

Bibliografie

Freed, Daniel S. (11 octombrie 2012). „The Cobordism hypothesis”. Bulletin of the American Mathematical Society^⁠(d). American Mathematical Society (AMS). 50 (1): 57–92. doi:10.1090/s0273-0979-2012-01393-9. ISSN 0273-0979.
Seminar on the Cobordism Hypothesis and (Infinity,n)-Categories, 2013-04-22
Jacob Lurie (4 May 2009). On the Classification of Topological Field Theories