Funcția beta

În matematică, funcția beta este o funcție specială, înrudită cu funcția gamma, întâlnită în calcularea mai multor integrale definite. Este o funcție cu două variabile și este definită pentru ${\displaystyle x>0}$ și ${\displaystyle y>0}$ astfel:

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\;.}$

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi \ /2}(\sin t)^{2x-1}(\cos t)^{2y-1}\,dt\ =2\int _{0}^{\pi \ /2}(\cos t)^{2x-1}(\sin t)^{2y-1}\,dt\;.}$

Ca urmare,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).}$

Această definiție este valabilă și pentru numerele complexe care au părțile reale pozitive și a fost dată de către Euler în 1730. Numele de funcție beta a fost introdus de către Jacques Philippe Marie Binet în 1839, el aducând mari contribuții la studiul acesteia.

Funcția beta este simetrică și și poate fi calculată cu ajutorul funcției gamma datorită proprietății:

Fie ${\displaystyle Re(x)>0}$ și ${\displaystyle Re(y)>0}$. Atunci,

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}=\mathrm {B} (y,x).}$

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)=\pi \ }$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)={\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\pi \ }$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left({\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}}\right)=\pi \ {\sqrt {2}}}$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left(x,1\right)={\frac {1}{x}}}$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left(x,1-x\right)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}}$,

Pentru ${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$, avem:

${\displaystyle \mathrm {B} \left(x,n\right)={\frac {(n-1)!}{x(x-1)...(x+n-1)}},n\geq 1}$,

${\displaystyle \mathrm {B} \left(m,n\right)={\frac {(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}},m\geq 1,n\geq 1}$.

Integralele Wallis au următoarea formă generală:

${\displaystyle W_{n}=\int _{0}^{\pi \ /2}(\sin t)^{n}\,dt\ =\int _{0}^{\pi \ /2}(\cos t)^{n}\,dt\;.}$

Ele pot fi calculate cu ajutorul funcțiilor beta și gamma.

• The gamma and the beta function – TU Delft Arhivat în 29 mai 2015, la Wayback Machine.
• Beta Function – MathWorld