În analiză numerică, diferențele divizate reprezintă un algoritm recursiv folosit pentru a calcula coeficienții unui polinom de interpolare în forma Newton.
Definiție
Având în vedere k+1 puncte de date
Diferențele divizate înainte sunt definite ca:
Diferențele divizate înapoi sunt definite ca:
În continuare sunt prezentate diferențele divizate înainte, cele mai utilizate în practică. Pentru diferențele divizate înapoi, raționamentul este asemănător.
Observații
Dacă punctele de date sunt valorile unei funcții ƒ,
uneori se scrie
Câteva notații pentru diferența divizată a funcției f pe nodurile 'x0, ..., xn sunt următoarele:
etc
Exemplu
Pentru primele valori ale
Pentru a face procesul recursiv mai clar diferentele divizate pot fi puse într-o formă de tabel
Proprietăți
Liniaritate
Regula Leibniz
Din teorema valorii intermediare, rezultă că
=
Pentru n=1, evident. Pentru n>1, demonstrația se continuă aplicând inducția matematică.
Tot prin inducție matematică, știind că orice permutare se poate reprezenta ca un produs de transpoziții, se demonstrează că:
nu depinde de ordinea punctelor , ..., .
Bibliografie
Dan Larionescu, Metode numerice, Editura Tehnică, 1989, p 77-80
Constantin Ilioi, Probleme de optimizare și algoritmi de aproximare a soluțiilor, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1980.
www.utgjiu.ro/math/mbuneci/book/mn2009.pdf/ Metode numerice - Aspecte teoretice și practice, Mădălina Roxana Buneci, Editura Academică Brâncuși, Târgu Jiu, 2009
http://cs.upm.ro/~bela.finta/.files/carti/Numerika.pdf Arhivat în , la Wayback Machine.
www.vpetrehus.home.ro/Lectii_AN.pdf/ Lecții de analiză numerică, Viorel Petrehus, Universitatea Tehnică de Construcții București, 2010