O Teorema de Lagrange, aplicado na teoria dos grupos, é um teorema que diz que se
é um grupo finito e
é subgrupo de
então a ordem (quantidade de elementos) de
divide a ordem de
Provemos um resultado antes de partir para a demonstração do Teorema de Lagrange.
Teorema 0.1
Se
é uma relação de equivalência em
então
onde tal união é sobre um elemento de cada classe e onde
implica
Ou seja,
particiona
em classes de equivalência.
Demonstração Seja
Note que
Portanto, é claro que
Suponhamos que
e provemos que
Seja
Então
e
Por um lado
Por outro
Seja
Então
Mas
logo
e assim
Portanto
Seja
Então
Mas
logo
e assim
Portanto
E, dessa forma,
Demonstração do Teorema de Lagrange
Seja
a relação de equivalência definida por
se
Temos que
Seja
o número de classes de distintas de
- chamemo-as de
Pelo Teorema 0.1,
e sabemos que
se
Provemos que qualquer
possui
elementos.
Seja
uma função tal que
Provemos que
é bijetora.
Note que
é injetora pois
implica
e é sobrejetora pela definição de
Potanto,
é bijetora e, assim,
Como
e tais
são disjuntos com
elementos, teremos que
Portanto,
divide
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