Em matemática, uma série de Bell é uma série de potências usada para estudar as propriedades de funções aritméticas. As séries de Bell foram introduzidas e desenvolvidas por Eric Temple Bell.[1]
Dada uma função aritmética
e um número primo
, define-se a série de potências formalmente
, chamada agora de série de Bell de
módulo
como:
![{\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c42e940c92c984f7cbf75557d855d6442a332d48)
Pode-se demostrar que duas funções multiplicativas são idênticas se todas as suas séries de Bell são iguais; isto às vezes chama-se teorema de unicidade. Dadas as funções mutiplicativas
e
, tem-se que
se e somente se:
para todos os primos
.
Duas séries podem ser multiplicadas (às vezes chama-se de teorema de multiplicação): Para duas funções aritméticas quaisquer
e
, seja
sua convolução de Dirichlet. Então, para cada primo
, tem se que:
![{\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ea5701452911f96d68edc226e07c2b8d6855b5d)
Em particular, isto converte em algo trivial encontrar a serie de Bell de uma inversa de Dirichlet.
Se
é uma função completamente multiplicativa, então:
![{\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388ae48f4d1e51a50358ec203ee3f55b548cc13d)
Exemplos
A continuação mostra as séries de Bell de funções aritméticas mais conhecidas.
- A função de Möbius
tem ![{\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4faf368337db77adbf9528eb07f60ea0a63785b6)
- A função φ de Euler
tem ![{\displaystyle \varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e14f8db1d5b5e8251cb64b882040f941cc0738b)
- A identidade multiplicativa da convolução de Dirichlet
tem ![{\displaystyle \delta _{p}(x)=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a4ed84baffc1730533e7c3878b20805a29adc0f)
- A função de Liouville
tem ![{\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/323cce4d7a678fce15c4172c5e3fafd630a7f886)
- A função potência Idk tem
Aqui, Idk é a função completamente multiplicativa
. - A função divisor
tem ![{\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef44361137167a08bbe527afe9d5057e7ec409b)
Referências
- ↑ * Apostol, Tom M. (1976). Introduction to analytic number theory. Undergraduate Texts in Mathematics. New York-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90163-3. MR0434929
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