Números de Liouville

Em teoria dos números, um número real ${\displaystyle x\,}$ é dito número de Liouville se, para todo inteiro positivo ${\displaystyle n\,}$, existirem inteiros ${\displaystyle p\,}$ e ${\displaystyle q\,}$ tais que:^[1]

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}},~~q>1\,}$

Note-se que números de Liouville podem ser aproximados tão bem quanto se queira por números racionais. Em 1844, o matemático francês Joseph Liouville demonstrou que todo número com esta propriedade de aproximação é transcendente. Este resultado permitiu-lhe construir a constante de Liouville, primeiro número transcendente conhecido.

• Sabe-se que todo número de Liouville é um número transcendente. A recíproca, no entanto, é falsa. Existem números transcendentes (como e e pi) que não são de Liouville.^[1]
• O conjunto dos números de Liouville é um conjunto de medida zero na reta.
• O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto de primeira categoria na reta.

É relativamente fácil provar que um número ${\displaystyle x\,}$ de Liouville é necessariamente um número irracional. Para isto, procedemos por contradição:

Suponha ${\displaystyle x={\frac {c}{d}}\,}$ e escolha um inteiro positivo ${\displaystyle n\,}$ tal que ${\displaystyle 2^{n-1}>d\,}$. Pela definição de número de Liouville, existem inteiros ${\displaystyle p\,}$ e ${\displaystyle q\,}$ tais que:

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}\,}$.

A primeira desigualdade prova que ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\neq {\frac {c}{d}}\,}$ o que equivale a dizer que ${\displaystyle |cq-pd|\geq 1\,}$, então:

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {cq-pd}{dq}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,}$

o que é uma contradição.

A constante de Liouville é historicamente o primeiro número transcendente reconhecido como tal e define-se pela série numérica:^[2]

${\displaystyle L=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}\,}$

A convergência desta série é facilmente provada usando o teste da razão. Para mostrar que é um número de Liouville, escolha um inteiro positivo ${\displaystyle n\,}$ e defina:

${\displaystyle p=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},~~~q=10^{n!}\,}$

Temos então:

${\displaystyle \left|L-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{j=n+1}^{\infty }10^{-j!}=\sum _{j=0}^{\infty }10^{-(n+j+1)!}\leq \sum _{j=0}^{\infty }10^{-(n+1)!-j}=10^{-(n+1)!}\sum _{j=0}^{\infty }10^{-j}<10^{-n!n}={\frac {1}{q^{n}}}\,}$

Como ${\displaystyle L\neq {\frac {p}{q}}\,}$, a primeira desigualdade é trivial e temos que ${\displaystyle L\,}$ é um número de Liouville e, portanto, um número transcendente.

A demonstração deste teorema de Liouville procede estabelecendo primeiramente um lema a respeito dos números algébricos. Este lema é comumente chamado de Teorema de Liouville sobre as aproximações diofantinas.

Lema : Se ${\displaystyle \alpha \,}$ é um número irracional raiz de um polinômio ${\displaystyle f\,}$ de grau ${\displaystyle n\,}$ positivo e com coeficientes inteiros, então existe um real ${\displaystyle A\,}$ positivo tal que, para toda escolha de inteiros ${\displaystyle p\,}$, ${\displaystyle q>0\,}$, vale:^[1]

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}\,}$.

Seja M, o valor máximo de ${\displaystyle |f'(x)|\,}$ no intervalo ${\displaystyle [\alpha -1,\alpha +1]\,}$. Sejam ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}\,}$ as raízes distintas de ${\displaystyle f\,}$ que diferem de ${\displaystyle \alpha \,}$. Fixe ${\displaystyle A>0\,}$ satisfazendo:

${\displaystyle A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right)\,}$

agora, suponha que existam inteiros ${\displaystyle p\,}$ e ${\displaystyle q\,}$ contradizendo o lema:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right)\,}$

então ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in [\alpha -1,\alpha +1]\,}$ e ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\notin \{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}\}\,}$, e como ${\displaystyle \alpha \,}$ é irracional, ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\neq \alpha \,}$ então ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\,}$ não é raiz de ${\displaystyle f\,}$.

Pelo teorema do valor médio, há um ${\displaystyle x_{0}\,}$ entre ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\,}$ e ${\displaystyle \alpha \,}$ tal que

${\displaystyle f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(\alpha -{\frac {p}{q}}\right)f'(x_{0}),}$

Uma vez que ${\displaystyle \alpha \,}$ é raiz de ${\displaystyle f\,}$' mas ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\,}$ não é, é fácil ver que ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0\,}$ e, conseqüentemente, ${\displaystyle |f'(x_{0})|>0\,}$ e, portanto :

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f(\alpha )-f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}={\frac {\left|f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}\,}$

${\displaystyle f\,}$ é, então da forma ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i}\,}$ com cada ${\displaystyle c_{i}\,}$ inteiro; logo podemos expressar ${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\,}$ como:

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|\sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right|={\frac {\left|\sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|}{q^{n}}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,}$

Como ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\,}$ não é raiz de ${\displaystyle f\,}$, o número inteiro ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\neq 0\,}$ e, portanto, temos:

${\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,}$

Posto que ${\displaystyle |f'(x_{0})|\leq M\,}$ pela definição de ${\displaystyle M\,}$, e ${\displaystyle {\frac {1}{M}}>A\,}$ pela definição de ${\displaystyle A\,}$, temos:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geq \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\,}$

O que é uma contradição e demonstra o lema.

Seja ${\displaystyle x\,}$ um número de Liouville, já mostramos que ${\displaystyle x\,}$ é irracional. Se ${\displaystyle x\,}$ for algébrico, então, pelo lema, existe um certo número inteiro ${\displaystyle n\,}$ e um certo inteiro real positivo ${\displaystyle A\,}$ tal que para todos os pares ${\displaystyle p\,}$ e ${\displaystyle q\,}$, vale:

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}\,}$.

Fixe ${\displaystyle r\,}$ um inteiro positivo tal que ${\displaystyle {\frac {1}{(2^{r})}}\leq A\,}$. Define ${\displaystyle m=r+n\,}$. Da defininção de número de Liouvile, existem inteiros ${\displaystyle a\,}$ e ${\displaystyle b>1\,}$ tais que:

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{(b^{r}b^{n})}}\leq {\frac {1}{(2^{r}b^{n})}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}\,}$

uma contradição que demonstra o teorema.

Um resultado interessante é que o conjunto ${\displaystyle \mathbb {L} \,}$ formado por todos os números de Liouville na reta possui medida zero.^[3]

Para mostrar isto, basta verificar que para todo ${\displaystyle m\,}$ inteiro positivo, vale:

${\displaystyle \mu ^{*}(\mathbb {L} \cap (-m,m))=0\,}$

onde ${\displaystyle \mu ^{*}}$ é a medida exterior de Lebesgue na reta.

Pela definição de número de Liouville, temos que se ${\displaystyle x\in \mathbb {L} \,}$ e ${\displaystyle n\,}$ é um inteiro positivo, então existem ${\displaystyle p\,}$, ${\displaystyle q\,}$ tais que:

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}},~~q\geq 2\,}$.

em outras palavras:

${\displaystyle x\in \left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\,}$.

com ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \left(x-{\frac {1}{q^{n}}},x+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\subseteq \left(-m-{\frac {1}{q^{n}}},m+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\,}$

ou, ainda: ${\displaystyle p\in \left(-mq-{\frac {1}{q^{n-1}}},mq+{\frac {1}{q^{n-1}}}\right)\,}$ Como ${\displaystyle p\,}$ é inteiro e ${\displaystyle {\frac {1}{q^{n-1}}}\leq 1\,}$, podemos escrever ${\displaystyle p\in \left(-mq,mq\right)\,}$.

logo:

${\displaystyle x\in \bigcup _{q=2}^{\infty }\bigcup _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)\,}$.

e, portanto:

${\displaystyle \mathbb {L} \cap (-m,m)\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }\bigcup _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right),~~\forall n=1,2,3,\ldots \,}$.

Uma vez que ${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$, podemos estimar:

${\displaystyle \mu ^{*}\left(\mathbb {L} \cap (-m,m)\right)\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}},~~\forall n>2\,}$

Do fato que ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$, temos que ${\displaystyle \mathbb {L} \cap (-m,m)\,}$ tem medida exterior nula e portanto é mensurável com medida zero. E o resultado segue.

Vamos mostrar agora que, não obstante o conjunto dos números de Liouville seja "pequeno" do ponto de vista da medida, ele é grande do ponto de vista da topologia.

Para cada ${\displaystyle n\,}$ inteiro positivo defina:

${\displaystyle U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$.

Os conjuntos ${\displaystyle U_{n}\,}$ são abertos e densos na reta real ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$, pois é um conjuto aberto que contém os racionais. Mais ainda, ${\displaystyle L=\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}\setminus {\mathbb {Q} }}$ e disto segue que ${\displaystyle L\,}$ é G-delta denso, logo seu complementar é uma intersecção enumerável de fechados nunca densos.

Referências

• Mollin, Richard A. (26 de agosto de 2009). (em inglês). [S.l.]: CRC Press https://books.google.com.br/books?id=6I1setlljDYC  Em falta ou vazio |título= (ajuda)
• Oxtoby, John C. (1980). «Measure and Category». Graduate Texts in Mathematics (em inglês). ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. Consultado em 25 de maio de 2021