Em teoria dos números, um número real
é dito número de Liouville se, para todo inteiro positivo
, existirem inteiros
e
tais que:
![{\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}},~~q>1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71107e7ea9e22f1cb32e8613a2a89c9a393c4bcc)
Note-se que números de Liouville podem ser aproximados tão bem quanto se queira por números racionais. Em 1844, o matemático francês Joseph Liouville demonstrou que todo número com esta propriedade de aproximação é transcendente. Este resultado permitiu-lhe construir a constante de Liouville, primeiro número transcendente conhecido.
Propriedades
Irracionalidade dos números de Liouville
É relativamente fácil provar que um número
de Liouville é necessariamente um número irracional. Para isto, procedemos por contradição:
Suponha
e escolha um inteiro positivo
tal que
. Pela definição de número de Liouville, existem inteiros
e
tais que:
.
A primeira desigualdade prova que
o que equivale a dizer que
, então:
![{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {c}{d}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {cq-pd}{dq}}\right|\geq {\frac {1}{dq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4074c80737724f7cf2e1d9acb306fc7dc7783955)
o que é uma contradição.
A constante de Liouville
A constante de Liouville é historicamente o primeiro número transcendente reconhecido como tal e define-se pela série numérica:
![{\displaystyle L=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6581ebc8cd6c17198727ff9fda1f5d67a8f25a1d)
A convergência desta série é facilmente provada usando o teste da razão. Para mostrar que é um número de Liouville, escolha um inteiro positivo
e defina:
![{\displaystyle p=\sum _{j=1}^{n}10^{n!-j!},~~~q=10^{n!}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f91ff636d0803ed515cc5e98fe88e48891077477)
Temos então:
![{\displaystyle \left|L-{\frac {p}{q}}\right|=\sum _{j=n+1}^{\infty }10^{-j!}=\sum _{j=0}^{\infty }10^{-(n+j+1)!}\leq \sum _{j=0}^{\infty }10^{-(n+1)!-j}=10^{-(n+1)!}\sum _{j=0}^{\infty }10^{-j}<10^{-n!n}={\frac {1}{q^{n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82520989e7703def3bec6b9360bf121243ef4d88)
Como
, a primeira desigualdade é trivial e temos que
é um número de Liouville e, portanto, um número transcendente.
Transcendência dos números de Liouville
A demonstração deste teorema de Liouville procede estabelecendo primeiramente um lema a respeito dos números algébricos. Este lema é comumente chamado de Teorema de Liouville sobre as aproximações diofantinas.
Lema : Se
é um número irracional raiz de um polinômio
de grau
positivo e com coeficientes inteiros, então existe um real
positivo tal que, para toda escolha de inteiros
,
, vale:
.
Demonstração do lema
Seja M, o valor máximo de
no intervalo
. Sejam
as raízes distintas de
que diferem de
. Fixe
satisfazendo:
![{\displaystyle A<\min \left(1,{\frac {1}{M}},|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2d9e0d87aec204dfba23c95f5974bec6cf4fc5)
agora, suponha que existam inteiros
e
contradizendo o lema:
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\leq {\frac {A}{q^{n}}}\leq A<\min \left(1,|\alpha -\alpha _{1}|,|\alpha -\alpha _{2}|,\ldots ,|\alpha -\alpha _{m}|\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73049b828141939acc3ec18277833cf9d2c07b6)
então
e
, e como
é irracional,
então
não é raiz de
.
Pelo teorema do valor médio, há um
entre
e
tal que
![{\displaystyle f(\alpha )-f\left({\frac {p}{q}}\right)=\left(\alpha -{\frac {p}{q}}\right)f'(x_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1f28078c23d362d48bdaa63ec9e2ebd3b0bbdd)
Uma vez que
é raiz de
' mas
não é, é fácil ver que
e, conseqüentemente,
e, portanto :
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f(\alpha )-f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}={\frac {\left|f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b822e03b595eef8d8c97c2244ab4fe85566a12)
é, então da forma
com cada
inteiro; logo podemos expressar
como:
![{\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|\sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{-i}\right|={\frac {\left|\sum _{i=1}^{n}c_{i}p^{i}q^{n-i}\right|}{q^{n}}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f48dd8f0bbef4108143ec9604b300a438ca1c7f)
Como
não é raiz de
, o número inteiro
e, portanto, temos:
![{\displaystyle \left|f\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f900a8e1352cbedff9b7c9d471bbb0624308fdc)
Posto que
pela definição de
, e
pela definição de
, temos:
![{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|={\frac {\left|f({\frac {p}{q}})\right|}{|f'(x_{0})|}}\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\geq \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c996dcb462c4a52979daa2bd0cbf4b7f39bf56)
O que é uma contradição e demonstra o lema.
Demonstração de todo número de Liouville é transcendente
Seja
um número de Liouville, já mostramos que
é irracional. Se
for algébrico, então, pelo lema, existe um certo número inteiro
e um certo inteiro real positivo
tal que para todos os pares
e
, vale:
.
Fixe
um inteiro positivo tal que
. Define
. Da defininção de número de Liouvile, existem inteiros
e
tais que:
![{\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{(b^{r}b^{n})}}\leq {\frac {1}{(2^{r}b^{n})}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec425b76defbebe89499ce66ed1551bc2fe2ef2)
uma contradição que demonstra o teorema.
O conjunto dos números de Liouville tem medida zero
Um resultado interessante é que o conjunto
formado por todos os números de Liouville na reta possui medida zero.
Para mostrar isto, basta verificar que para todo
inteiro positivo, vale:
![{\displaystyle \mu ^{*}(\mathbb {L} \cap (-m,m))=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b4cc36e530a549c427e986529fcb323dc7d664)
onde
é a medida exterior de Lebesgue na reta.
Pela definição de número de Liouville, temos que se
e
é um inteiro positivo, então existem
,
tais que:
.
em outras palavras:
.
com
ou, ainda:
Como
é inteiro e
, podemos escrever
.
logo:
.
e, portanto:
.
Uma vez que
, podemos estimar:
![{\displaystyle \mu ^{*}\left(\mathbb {L} \cap (-m,m)\right)\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}},~~\forall n>2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470337c9b87aa3edb6eb07e6de113eb3cea38f0e)
Do fato que
, temos que
tem medida exterior nula e portanto é mensurável com medida zero. E o resultado segue.
O conjunto dos números de Liouville é o complementar de um conjunto magro
Vamos mostrar agora que, não obstante o conjunto dos números de Liouville seja "pequeno" do ponto de vista da medida, ele é grande do ponto de vista da topologia.
Para cada
inteiro positivo defina:
.
Os conjuntos
são abertos e densos na reta real
, pois é um conjuto aberto que contém os racionais. Mais ainda,
e disto segue que
é G-delta denso, logo seu complementar é uma intersecção enumerável de fechados nunca densos.
Referências
Bibliografia
- Mollin, Richard A. (26 de agosto de 2009). (em inglês). [S.l.]: CRC Press https://books.google.com.br/books?id=6I1setlljDYC Em falta ou vazio
|título=
(ajuda) - Oxtoby, John C. (1980). «Measure and Category». Graduate Texts in Mathematics (em inglês). ISSN 0072-5285. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. Consultado em 25 de maio de 2021