Identidade aditiva

Em matemática, a identidade aditiva de um conjunto que está equipado com a operação de adição é um elemento que quando adicionado a qualquer elemento x {\displaystyle x} do conjunto, resulta em x . {\displaystyle x.} [1] Uma das mais conhecidas identidades aditivas é o número 0, mas identidades aditivas ocorrem em outras estruturas matemáticas onde a adição é definida, como em grupos e anéis.

Exemplos elementares

  • A identidade aditiva familiar da matemática elementar é o zero, denotado por 0. Por exemplo, 5 + 0 = 5 = 0 + 5 {\displaystyle 5+0=5=0+5}
  • Nos números naturais  N {\displaystyle \mathbb {N} } e em todos os seus superconjuntos (os números inteiros  Z , {\displaystyle \mathbb {Z} ,} os números racionais  Q , {\displaystyle \mathbb {Q} ,}  os números reais  R {\displaystyle \mathbb {R} }  e os números complexos  C {\displaystyle \mathbb {C} } ), a identidade aditiva é 0. Assim, para qualquer número n {\displaystyle n} pertencente a um desses conjuntos vale: n + 0 = n = 0 + n {\displaystyle n+0=n=0+n}

Definição formal

Seja N {\displaystyle \mathbb {N} }  um conjunto fechado sob a operação de adição, denotada + {\displaystyle +} . Um aditivo de identidade para N {\displaystyle \mathbb {N} } é qualquer elemento e {\displaystyle e} tal que, para qualquer elemento n {\displaystyle n} em N , {\displaystyle \mathbb {N} ,} e + n = n = n + e {\displaystyle e+n=n=n+e}

Exemplos

  • Em um grupo a identidade aditiva é o elemento identidade do grupo, que é usualmente denotado como 0 {\displaystyle \mathbb {0} } e é único.[nota 1]
  • Um anel ou corpo é um grupo sob a operação de adição e portanto também têm uma identidade aditiva única 0 . {\displaystyle \mathbb {0} .} Este é definido como sendo diferente da identidade multiplicativa 1 {\displaystyle \mathbb {1} } se o anel (ou corpo) tem mais de um elemento. Se as identidades aditiva e multiplicativa são idênticas, então o anel é trivial.[nota 2]
  • Em um sistema S {\displaystyle S} com operação de multiplicação que distribui sobre a adição, a identidade aditiva é um elemento absorvente multiplicativo, significando que para qualquer s {\displaystyle s} em S , {\displaystyle S,} s ⋅ 0 = 0. {\displaystyle s\cdot \mathbb {0} =0.} [nota 3]

Ver também

  • 0 (número)
  • Elemento de identidade
  • Multiplicativo de identidade

Referências

  1. ↑ Kelley, W. M. (2013). O Guia Completo para Quem Não É C.D.F Álgebra. Rio de Janeiro: Alta Books. p. 15 

Provas

  1. ↑ Seja ( G , + ) {\displaystyle (G,+)} um grupo fechado sob a operação de adição e sejam 0 , {\displaystyle \mathbb {0} ,} 0 ′ ∈ G {\displaystyle \mathbb {0^{'}} \in G} ambos identidades aditivas. Então para qualquer g ∈ G , {\displaystyle g\in G,} 0 + g = g = g + 0 {\displaystyle \mathbb {0} +g=g=g+\mathbb {0} } e 0 ′ + g = g = g + 0 ′ {\displaystyle \mathbb {0^{'}} +g=g=g+\mathbb {0^{'}} } Segue diretamente do exposto acima que 0 ′ = 0 ′ + 0 = 0 + 0 ′ = 0 . {\displaystyle \mathbb {0^{'}} =\mathbb {0^{'}} +\mathbb {0} =\mathbb {0} +\mathbb {0^{'}} =\mathbb {0} .}
  2. ↑ Seja R {\displaystyle R} um anel e suponha que a identidade aditiva 0 R {\displaystyle \mathbb {0} _{R}} e a identidade multiplicativa 1 R {\displaystyle \mathbb {1} _{R}} são iguais, ou seja, 0 R = 1 R . {\displaystyle \mathbb {0} _{R}=\mathbb {1} _{R}.} Seja r {\displaystyle r} qualquer elemento de R . {\displaystyle R.} Então: r = r × 1 R = r × 0 R = 0 R , {\displaystyle r=r\times \mathbb {1} _{R}=r\times \mathbb {0} _{R}=\mathbb {0} _{R},} provando que R {\displaystyle R} é trivial, isto é, R = 0 R . {\displaystyle R={0}_{R}.} O contrapositivo, que se R {\displaystyle R} é não-trivial então 0 R {\displaystyle \mathbb {0} _{R}} é diferente de 1 R {\displaystyle \mathbb {1} _{R}} deriva diretamente dessa prova.
  3. ↑ Seja S {\displaystyle S} um sistema com operação de multiplicação distribuída sobre a adição. Seja s ∈ S {\displaystyle s\in S} e seja 0 {\displaystyle \mathbb {0} } a identidade aditiva de S . {\displaystyle S.} Então: s ⋅ 0 = s ⋅ ( 0 + 0 ) = s ⋅ 0 + s ⋅ 0 {\displaystyle s\cdot \mathbb {0} =s\cdot (\mathbb {0} +\mathbb {0} )=s\cdot \mathbb {0} +s\cdot \mathbb {0} } s ⋅ 0 − s ⋅ 0 = s ⋅ 0 {\displaystyle s\cdot \mathbb {0} -s\cdot \mathbb {0} =s\cdot \mathbb {0} } 0 = s ⋅ 0 → s ⋅ 0 = 0 {\displaystyle \mathbb {0} =s\cdot \mathbb {0} \rightarrow s\cdot \mathbb {0} =\mathbb {0} }