Fórmula de Leibniz para determinantes

Em álgebra, a fórmula de Leibniz, batizada em homenagem a Gottfried Leibniz, expressa o determinante de uma matriz quadrada em termos de permutações dos elementos da matriz. Se A for uma matriz n×n, onde a_i,j é a entrada na iésima ( ${\displaystyle j}$^a) linha e jésima coluna de A,^[1] a fórmula é

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\tau (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},}$

onde sgn é a função de sinal de permutações no grupo de permutação S_n, que retorna +1 e -1 para permutações pares e ímpares, respectivamente.^[2][3]

Outra notação comum usada para a fórmula é em termos do símbolo de Levi-Civita e faz uso da notação de soma de Einstein,^[4] onde se torna

${\displaystyle \det(A)=\epsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}{a}_{1i_{1}}\cdots {a}_{ni_{n}},}$

o que pode ser mais familiar para os físicos.

Avaliando diretamente a fórmula de Leibniz a partir da definição requer ${\displaystyle \Omega (n!\cdot n)}$ operações em geral — isto é, várias operações assintoticamente proporcionais an fatorial - porque n! é o número de permutações de ordem n. Isso é impraticavelmente difícil para n grande. Em vez disso, o determinante pode ser avaliado em O(n³) operações formando a decomposição LU ${\displaystyle A=LU}$ (normalmente por meio de eliminação de Gauss ou métodos semelhantes), caso em que ${\displaystyle \det A=(\det L)(\det U)}$ e os determinantes das matrizes triangulares L e Usão simplesmente produtos de suas entradas diagonais. (Em aplicações práticas de álgebra linear numérica, no entanto, o cálculo explícito do determinante raramente é necessário.) Veja, por exemplo, Trefethen, Bau (1997).

Declaração formal e prova

Teorema

Existe exatamente uma função

${\displaystyle F:M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$

que é multilinear alternado em relação às colunas e de modo que ${\displaystyle F(I)=1}$.

Prova

Singularidade: Deixe ${\displaystyle F}$ ser essa função, e deixe ${\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}}$ seja uma matriz ${\displaystyle n\times n}$. Chame ${\displaystyle A^{j}}$ a coluna ${\displaystyle j}$^a de ${\displaystyle A}$, ou seja ${\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}}$, a fim de que ${\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}$

Além disso, deixe ${\displaystyle E^{k}}$ denotar o vetor coluna ${\displaystyle k}$^a da matriz identidade.

Agora se escreve cada um dos ${\displaystyle A^{j}}$(s) em termos de ${\displaystyle E^{k}}$, ou seja

${\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}}$.

Como ${\displaystyle F}$ é multilinear, um tem

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)\\&=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}}$

Da alternância, segue-se que qualquer termo com índices repetidos é zero. A soma pode, portanto, ser restrita a tuplas com índices não repetitivos, ou seja, permutações:

${\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}$

Como ${\displaystyle F}$ está alternando, as colunas ${\displaystyle E}$ pode ser trocado até se tornar a identidade. A função de signal ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )}$ é definido para contar o número de trocas necessárias e levar em conta a mudança de sinal resultante. Finalmente consegue-se:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}$

pois ${\displaystyle F(I)}$ deve ser igual a ${\displaystyle 1}$.

Portanto, nenhuma função além da função definida pela Fórmula de Leibniz pode ser uma função alternada multilinear com ${\displaystyle F\left(I\right)=1}$.

Existência

Mostramos agora que ${\displaystyle F}$, onde F é a função definida pela fórmula de Leibniz, possui essas três propriedades.

• Multilinear:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}$

• Alternando:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}}$

Para qualquer ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$ deixe ${\displaystyle \sigma '}$ seja a tupla igual a ${\displaystyle \sigma }$ com os índices ${\displaystyle j_{1}}$ e ${\displaystyle j_{2}}$ trocados.

${\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)\\\\\end{aligned}}}$

Assim se ${\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}}$ então ${\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0}$.

Finalmente, ${\displaystyle F(I)=1}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}\operatorname {\delta } _{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\operatorname {\delta } _{\sigma ,\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}}}=\operatorname {sgn}(\operatorname {id} _{\{1\ldots n\}})=1\end{aligned}}}$

Assim, as únicas funções multilineares alternadas com ${\displaystyle F(I)=1}$ estão restritas à função definida pela fórmula de Leibniz e, na verdade, também possuem essas três propriedades. Portanto, o determinante pode ser definido como a única função

${\displaystyle \det :M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} }$

com essas três propriedades.

Referências

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