Difusão rotacional

A difusão rotacional é o processo através do qual a distribuição estatística de equilíbrio da orientação global das partículas ou moléculas é mantida ou restaurada. A difusão rotacional é o contraponto da difusão translacional, que mantém ou restaura a distribuição estatística de equilíbrio das posições das partículas no espaço.

Versão rotacional da lei de Fick

Uma versão rotacional da lei da difusão de Fick pode ser definida. Deixa-se que cada molécula em rotação seja associada com um vector n de unidade de comprimento n·n=1; por exemplo, n pode representar a orientação de um momento do dipolo elétrico ou um momento do dipolo magnético. Deixar f(θ, φ, t) representar a Função densidade de probabilidade para a orientação de n no tempo t. Aqui, θ e φ representam os ângulos esféricos, com θ a ser o ângulo polar entre n e o eixo dos z e φ ser o ângulo azimutal de n no plano x-y. A versão rotacional da lei de Fick diz

1 D r o t ∂ f ∂ t = ∇ 2 f = 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ ϕ 2 {\displaystyle {\frac {1}{D_{\mathrm {rot} }}}{\frac {\partial f}{\partial t}}=\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}}

Esta equação diferencial parcial (EDP) pode ser resolvida por expansão de f(θ, φ, t) nas harmónicas esféricas para as quais a identidade matemática serve

1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ Y l m ∂ θ ) + 1 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 Y l m ∂ ϕ 2 = − l ( l + 1 ) Y l m {\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y_{l}^{m}}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y_{l}^{m}}{\partial \phi ^{2}}}=-l(l+1)Y_{l}^{m}}

então, a solução da EDP pode ser escrita

f ( θ , ϕ , t ) = ∑ l = 0 ∞ ∑ m = − l l C l m Y l m ( θ , ϕ ) e − t / τ l {\displaystyle f(\theta ,\phi ,t)=\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}C_{lm}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )e^{-t/\tau _{l}}}

onde Clm são constantes ajustadas à distribuição inicial e a constante de tempo iguala

τ l = 1 D r o t l ( l + 1 ) {\displaystyle \tau _{l}={\frac {1}{D_{\mathrm {rot} }l(l+1)}}}

Referências

  • Cantor, CR; Schimmel PR (1980). Biophysical Chemistry. Part II. Techniques for the study of biological structure and function. [S.l.]: W. H. Freeman  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
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