Curva pedal
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/PedalConstruction.svg/200px-PedalConstruction.svg.png)
Para uma curva e um ponto fixado a curva pedal de é o lugar geométrico dos pontos tais que é perpendicular a tangente da curva que passa por O ponto é chamado de ponto pedal. A curva pedal é a primeira de uma série de curvas etc.., onde é a curva pedal de é a curva pedal de e assim por diante.
Mais precisamente, em qualquer ponto sobre seja a reta tangente em Existe um único ponto sobre que ou é (no caso de pertencer a ) ou forma com a reta perpendicular a A curva pedal o conjunto dos tais pontos chamados de pé da perpendicular a a partir de conforme varia sobre pontos
Analogamente, existe um único ponto sobre a reta normal à em de forma que seja perpendicular à normal, assim é um retângulo (possivelmente degenerado). O lugar geométrico dos pontos é chamado curva contrapedal.
Equações
Equação cartesiana
Tome para ser a origem. Para obter uma curva dada pela equação se a equação da reta tangente em é escrita na forma
em seguida o vetor (cos α, sin α) é paralelo ao segmento e o comprimento de que é a distância da partir reta tangente à origem, é Também é representado em coordenadas polares por e trocando por produzimos a equação polar para a curva pedal.[1]
Por exemplo,[2] para a elipse
a reta tangente em é
e escrever isso na forma descrita acima requer que
A equação para a elipse pode ser usada para eliminar and dando
e convertendo para dados
como a equação polar para a pedal. Isto é facilmente convertido para uma equação cartesiana
Equação Polar
Seja P a origem, e C dado em coordenadas polares pela equação r = f(θ). Seja R=(r, θ) um ponto na curva, e X=(p, α) seu ponto correspondente na curva polar. Façamos que ψ denote o ângulo entre a reta tangente e o raio vetor. Ele é dado por:
Então
e
Essas equações podem ser usadas para produzir uma equação em p and α onde, quando transladado para r e θ, nos dá uma equação polar para a curva pedal. [3]
Por exemplo,[4] seja a curva uma circunferência com r = a cos θ. Então
então
Também temos
Com isso a equação polar da pedal é:
Da equação Pedal
A equação Pedal de uma curva e seu pedal são muito relacionados. Se P é pego como o ponto pedal e como a origem, então pode ser mostrado que o ângulo ψ entre a curva e o raio vetor no ponto R é igual ao ângulo correspondente para a curva pedal no ponto X. Se p é o tamanho da perpendicular de P até a tangente a curva (i.e. PX) e q é o tamanho da correspondente perpendicular desenhada de P até a tangente ao pedal, então por semelhança de triângulos
Disso segue imediatamente que se a equação Pedal da curva é f(p,r)=0 então a equação para a curva pedal é [5]
Com isso, todos os pedais positivos e negativos podem ser computados facilmente se a equação pedal da curva é conhecida.
Equações Paramétricas
Seja o vetor de R até P e sejam
- ,
as componentes normal e tangencial de com respeito a curva. Então é o vetor de R até X do qual a posição de X pode ser analisada.
Especificamente, se c é uma parametrização da curva então
parametriza a currva pedal (excetuando-se pontos onde c' é zero ou indefinido).
Para uma curva paramétrica definida, sua curva pedal com o ponto pedal (0,0) é definida como:
Propriedades Geométricas
Considere um ângulo movendo-se rigidamente de forma que um de seus extremos seja fixo no ponto P, e o outro lado seja tangente a curva. Então, o vértice desse ângulo é X e traça assim, a curva pedal. Enquanto o ângulo se move, a direção do movimento em P é paralelo a PX a a direção do movimento em R é paralela a tangente T = RX. Portanto o centro instantâneo de rotação é a interseção da linha perpendicular a PX em P e perpendicular a RX em R, e esse ponto é Y. Assim, segue que a tangente à pedal em X é perpendicular a XY
Desenhe uma circunferência com diâmetro PR, então ela circunscreve o retângulo PXRY e XY é outro diâmetro. A circunferência e a pedal, são ambas perpendiculares a XY então elas são tangentes em X. Portanto a pedal é o envelope da circunferência com diâmetro PR onde R pertence à curva.
A linha YR é normal à curva e o envelope de tal normal e sua evoluta. Portanto YR é tangente a evoluta e o ponto Y é o pé da perpendicular de P a essa tangente, em outras palavras Y está no pedal da evoluta.
Exemplos
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/PedalCurve2.gif)
Quando C é uma circunferência a discussão acima mostra que as definições seguintes of a limaçon são equivalentes:
- É o pedal da circunferência.
- É o envelope da circunferência cujo diametro tem um ponto final em um ponto fixo e o ontro ponto final que percorre a circunferência.
Pedais de curvas Específicas
Pedals of some specific curves are:[6]
Curva | Equação | Ponto de pedal | Curva Pedal |
---|---|---|---|
Circunferência | Ponto da Circunferência | Cardioid | |
Circunferência | Qualquer Ponto | Limaçon | |
Parábola | Foco | A reta tangente no vértice | |
Parábola | Vértice | Cissoide of Diocles | |
Conica Central | Foco | Circunferência auxiliar | |
Cônica Central | Centro | (a hippopede) | |
Hibérbole Retângular | Centro | Lemniscata de Bernoulli | |
Espiral logarítmical |
Ver também
- Lista de curvas
Referências
- J. Edwards (1892). Differential Calculus. London: MacMillan and Co. pp. 161 ff.
- Benjamin Williamson (1899). An elementary treatise on the differential calculus. [S.l.]: Logmans, Green, and Co. pp. 227 ff.
Leitura adicional
- Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. (Google books)
- J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. [S.l.]: Dover Publications. p. 60. ISBN 0-486-60288-5
- "Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley
Ligações externas
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4a/Commons-logo.svg/22px-Commons-logo.svg.png)
- Weisstein, Eric W. «Pedal Curve». MathWorld (em inglês)
- Weisstein, Eric W. «Contrapedal Curve». MathWorld (em inglês)
- Weisstein, Eric W. «Orthotomic». MathWorld (em inglês)
- "Podaire d'une Courbe" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables