Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.
Definição
Como comparação, uma sequência de funções
converge pontualmente para uma função
se, e somente se:
.
A sequência converge uniformemente quando:
![{\displaystyle \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} {\text{ tal que }}\forall x\in S{\text{ e }}\forall n>N{\text{ temos que }}|f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d194012ba14d2c7f0be46aa92fdf9c3ed050a43)
Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada
e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada
um N que se aplica a todo x.
É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo. Mais precisamente, consideremos o conjunto das funções
que são limitadas, que designaremos por
. Munido das operações de soma de funções e de produto de um escalar real por uma função, este conjunto torna-se num espaço vetorial real (que é, aliás, subespaço do espaço vetorial das funções reais
). Através da relação
definimos uma aplicação
de
em
que constitui uma norma em
e que é chamada norma do supremo. É conhecido que para esta norma,
é um espaço de Banach[1][2] (p.170).
De notar que se
é uma sucessão de funções em
que converge uniformemente para
, então também
. Basta ter em conta que para cada
e cada
,
. Fixando
arbitrariamente, resulta então, para qualquer
que
. Logo
é limitada em
.
Continuidade
Tomemos agora
, não como um simples conjunto mas como um espaço topológico qualquer.
- Seja
uma sucessão de funções contínuas em
que converge uniformemente para
em
Então
é contínua em
[2] (p 132). - A convergência uniforme preserva a continuidade, ou seja, o limite uniforme de uma seqüência de funções contínuas é uma função contínua.
Se
for um espaço métrico compacto, como por exemplo um intervalo limitado e fechado
, uma relação mais específica entre continuidade e convergência uniforme foi estabelecida por Ulisse Dini no teorema seguinte o qual é apresentado com maior detalhe por E. L. Lima em[2] (p.211).
Teorema (de Dini)
Se
uma sucessão de funções contínuas em
que em cada ponto de
cresce (ou decresce) para
e
é também contínua em
, então
converge unformemente para
em
.
Para o caso de ser
, uma demonstração diferente é apresentada D. G. Figueiredo[3].
Diferenciabilidade
Seja
um intervalo da reta real.
- Observe no entanto que a diferenciabilidade não é preservada, podendo uma seqüência de funções deriváveis convergir uniformemente para uma função contínua que não é diferenciável em nenhum ponto. Um exemplo desta patologia (matemática) é a construção da função de Weierstrass. De fato, qualquer função contínua pode ser aproximada uniformemente por funções suaves, veja teorema de Stone-Weierstrass.
- Pode acontecer de uma seqüência de funções suaves convergir uniformemente mas a seqüência das derivadas não convergir em nenhum ponto, eis um exemplo:
![{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {\sin nx}{\sqrt {n}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da1f66d1c4ed8d0d3518f69b0a570a6b609c425a)
cujas derivadas são:
![{\displaystyle f_{n}'(x)={\sqrt {n}}\cos nx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb8d9083abb7beb30b2421e1508678ce9483f89)
Que
converge uniformemente para zero é fácil ver pois
. Podemos provar que não existe um
tal que
é limitado. Para tal, suponha que exista tal
, como
,
e portanto existe um
com a propriedade:
, mas então:
, o que contradiz a convergência.
- Pode acontecer de
convergir uniformemente e
pontualmente mas o limites das derivadas ser diferente da derivado do limite. Exemplo:
![{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x}{1+n^{2}x^{2}}},x\in [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19440fe5bd260a08adafa9ef82e4f16aa4fcdefe)
Como
,
converge uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}'(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-n^{2}x^{2}}{\left(1+n^{2}x^{2}\right)^{2}}}=\left\{{\begin{array}{lr}1,~~x=0\\0,~~x\neq 0\end{array}}\right.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4a2e10510460c1dca359178264b6c59f649b63)
- Para preservar a diferenciabilidade, precisamos de mais hipóteses sobre a convergência das derivadas, tal como convergência uniforme. Veja espaço de Hölder.
Coloquemo-nos agora perante a norma do supremo em
e atentemos previamente nos três exemplos seguintes.
Exemplo 1
Designemos por
, a sucessões dos racionais no intervalo
e consideremos a sucessão de funções neste intervalo definida através de:
Trata-se de uma sucessão de funções limitadas, cada uma apenas com um número finito de descontinuidades, logo integráveis à Riemann. Para cada
, a correspondente função limite
é a função de Dirichlet
a qual como é conhecido não é integrável à Riemann.
Por outro lado,
, qualquer que seja
. Logo a convergência não é uniforme, mas apenas pontual.
Exemplo 2
Seja
Trata-se de uma sucessão de funções limitadas em
(
, para cada
) com apenas uma descontinuidade em
, consequentemente integráveis. Contudo, a função limite é dada por
a qual nem sequer é limitada, não podendo portanto haver convergência uniforme.
Exemplo 3
Mas para
, com
em
, temos uma sucessão de funções contínuas, em que a função limite é a função identicamente nula, obviamente integrável, sendo
Observe-se que neste caso a convergência é uniforme pois
.
Isto é, apenas neste último exemplo, a função limite é integrável e tem-se a validade da seguinte fórmula
Precisamente, o que sucede neste exemplo e não sucede nos outros, é que há convergência uniforme da sucessão de funções
para a função limite
. Na verdade, é válido o teorema seguinte.
Seja
uma sucessão de funções integráveis em
, convergindo uniformemente para
. Isto é,
é uma sucessão em
tal que
. Então
é integrável em
e:
.
Este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue.
No caso do integral de Lebesgue a simples convergência pontual é suficiente para garantir a integrabilidade à Lebesgue.
Para o integral de Rieman temos de mostrar que o conjunto
, das descontinuidades de
, tem medida de Lebesgue nula. Observemos que se
for o conjunto das descontinuidades de
, como a convergência uniforme conserva a continuidade, temos que
. Logo
. Tendo o conjunto da direita, por via da integrabilidade à Riemann de cada função
, medida de Lebesgue nula, o mesmo sucede a
. Logo
é integrável à Riemann.
Por outro lado, a diferença
pelo que
Este argumento é válido para os dois integrais.
Ver também
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- ↑ Honig, Chaim Samuel (1976). Aplicações da Topologia à Análise. Brasília: IMPA-CNPq. p. 33.
- ↑ a b c Lima, Elon Lages (1977). Espaços Métricos. Brasília: IMPA-CNPq. ISBN 9-216-05110-8
- ↑ Figueiredo, Djairo Guedes de (1996). Análise I. Rio de Janeiro: LTC. p. 199