A notação matemática de índices múltiplos simplifica a formulação utilizada em cálculo com múltiplas variáveis, equações diferenciais parciais e na teoria das distribuições. Ela consiste na generalização de um índice inteiro para ordenar índices de tuplas.[1]
Definição
Um índice múltiplo n-dimensional é uma n-tupla da forma
![{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70122d07b448b26cbd14d9542d648d5c761d3107)
de inteiros não negativos. Para índices múltiplos
e
se define:
![{\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d6b5d7d524ee5390e8ad81b8ee3d74d81261d70)
- Conjunto parcialmente ordenado
![{\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5cbb846993d49f8992be68de9b846d277e187ec)
![{\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7832f93f42cce41671070ecf5a4135255fb4c93a)
![{\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5ec408016ade71f03fa953438c6e9560a32a05)
![{\displaystyle {\binom {\alpha }{\beta }}={\binom {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}{\binom {\alpha _{2}}{\beta _{2}}}\cdots {\binom {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}={\frac {\alpha !}{\beta !(\alpha -\beta )!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7812d634fd363aaf49931bf182ee1b6b1b4657f)
onde ![{\displaystyle |\alpha |=k\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5b5d5bee473c980727adc72f1e8fa5f5942b1a)
![{\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdd8717184ad0646712c80da26c6abc93862e14)
onde ![{\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e28aeb23d73561e2073c54f9fef980f15745b1c8)
Referências
- ↑ Xavier, Saint Raymond (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators (em inglês). [S.l.]: CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9 A referência emprega parâmetros obsoletos
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(ajuda)
Ligações externas
- Este artigo incorpora material de Índice múltiplo do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.
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