Wzór Wallisa – rozwinięcie liczby π w iloczyn nieskończony uzyskane w roku 1655 przez Johna Wallisa. Historycznie wzór Wallisa był jednym z pierwszych przedstawień liczby π w postaci granicy ciągu liczb wymiernych, które było stosunkowo proste do wyliczenia. Dziś wzór ten ma znaczenie raczej historyczne ponieważ istnieją rozwinięcia liczby π pozwalające na przybliżone obliczanie wartości tej liczby „szybciej zbieżne”. Wzór Wallisa ma postać[1]:
Wyprowadzenie
Pierwiastki funkcji są postaci gdzie jest liczbą całkowitą. Postępując a priori analogicznie jak w teorii wielomianów, funkcję tę przedstawia się jako nieskończony iloczyn czynników dwumiennych:
gdzie jest pewną stałą. Aby znaleźć granicę zauważamy, że
Korzystając z faktu, iż:
otrzymujemy Następnie otrzymujemy wzór Eulera-Wallisa dla funkcji sinus:
Podstawiając
Ostatecznie:
Podstawiając w równaniu przybliżenie Stirlinga zarówno dla jak i dla można po krótkich obliczeniach zauważyć, że zbiega do przy
Wykres iloczynów częściowych
Przypisy
- ↑ Wallisa wzór, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-03] .
Bibliografia
- Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966, s. 127–128.
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Wallis Formula, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
- Grant Sanderson, The Wallis product for pi, proved geometrically, kanał 3blue1brown na YouTube, 20 kwietnia 2018 [dostęp 2021-10-03].
- Britannica: topic/Wallis-product