Współczynniki Clebscha-Gordana – współczynniki liczbowe pojawiające się w rozkładzie stanów kwantowych, będących stanami własnymi operatorów momentu pędu, spinu bądź izospinu. Wartości współczynników Clebscha-Gordana są stabelaryzowane. Współczynniki te zostały wprowadzone przez niemieckich matematyków Alfreda Clebscha i Pawła Gordana, w związku z rozwojem teorii niezmienników.
Sprzężenie dwóch stanów kwantowych
Jeżeli dwa stany kwantowe oraz opisane liczbami kwantowymi momentu pędu orbitalnego/spinowego oraz oraz liczbami kwantowymi oraz opisującymi rzuty wektorów momentu pędu na wybraną oś sprzęgają się ze sobą, to powstający stan jest superpozycją stanów tj.
- przy czym:
-
- – współczynniki Clebscha-Gordana.
Rozkład danego stanu sprzężonego
Słuszna jest też relacja odwrotna, pozwalająca znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego w bazie stanów niesprzężonych
- przy czym oraz takie że:
- lub lub
Stany kwantowe operatora izospinu
Współczynniki Clebscha-Gordana znajdują ważne zastosowanie w znajdowaniu stanów po sprzężeniu stanów izospinowych oddziałujących cząstek lub w rozkładzie stanu sprzężonego w bazie dwóch stanów niesprzężonych – pozwala to np. obliczać amplitudy rozpraszania oddziałujących cząstek lub względne prawdopodobieństwa rozpadu danej cząstki na inne cząstki elementarne. Z uwagi na to, że operatory izospinu i rzutu izospinu na wybraną oś mają identyczne własności algebraiczne jak operatory orbitalnego i spinowego momentu pędu, współczynniki Clebscha-Gordana są takie same, jak w przypadku stanów momentu pędu.
Przykład: sprzężenie stanów
Omówimy tu sposób wykorzystania tabel ze współczynnikami C-G na podstawie przypadku sprzęgania stanów o liczbach kwantowych
(1) W kolejnych wierszach tabel podane są możliwe wartości
(2) Współczynniki C-G dla danych wartości i wartości są na skrzyżowaniu kolumny z wartościami oraz wiersza w wartościami – podano je wytłuszczonym drukiem.Przy czym z podanych wartości liczbowych należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy, zostawiając ewentualny znak – przed pierwiastkiem.
| j | 1 |
| m | 1 |
m1, m2 | +1/2, +1/2 | 1 |
cd. | j | 1 | 0 |
| m | 0 | 0 |
m1, m2 | 1/2, −1/2 | 1/2 | 1/2 |
m1, m2 | −1/2, 1/2 | 1/2 | −1/2 |
cd. | j | 1 |
| m | −1 |
m1, m2 | −1/2, −1/2 | 1 |
Np. dla mamy
- dla współczynnik
- dla współczynnik
Na podstawie tabel odczytujemy: (a) stany sprzęgają się w stan tj.
(b) stany sprzęgają się w superpozycję stanów tj.
(c) stany sprzęgają się w superpozycję stanów tj.
(d) stany sprzęgają się w stan tj.
Przykład: Rozkład danego stanu sprzężonego
Na podstawie powyższych tabel można znaleźć rozkład danego stanu sprzężonego w bazie stanów niesprzężonych: tym razem znajdujemy tabelę z odpowiednimi wartościami a następnie odczytujemy współczynniki C-G w kolumnie, odpowiadającej tym wartościom.
Np. niech wtedy liczby mogą mieć wartości:
Na podstawie tabel odczytujemy:
(a) stan rozkłada się w pojedynczy sposób
(b) stan rozkłada się na superpozycję stanów
(c) stan rozkłada się w pojedynczy sposób
(d) stan rozkłada się na superpozycję stanów
Bibliografia
- David J. Griffiths, Introduction to Elementary particles, Cambridge University Press 2008.