Uzupełnienie Schura
Uzupełnienie Schura – pojęcie w algebrze liniowej i teorii macierzy wiążące elementy macierzy blokowej.
Załóżmy, że są macierzami o wymiarach i oraz że jest odwracalna.
Niech
tak, że jest macierzą blokową o wymiarach Wtedy uzupełnieniem Schura bloku macierzy jest macierz o wymiarach dana przez
Uzupełnienie Schura jest wykorzystywane m.in. w eliminacji Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych.
Zastosowania w algebrze liniowej
Uzupełnienie Schura jest w sposób naturalny wykorzystywane przy rozwiązywaniu układu równań liniowych
gdzie oraz są wektorami o wymiarach natomiast są wektorami o wymiarach Macierze są zdefiniowane jak powyżej. Po pewnych przekształceniach dostajemy
Wobec tego, jeżeli można odwrócić zarówno macierz jak i jej uzupełnienie Schura, wtedy można znaleźć i używając równania wyznaczyć W ten sposób problem odwracania macierzy został zredukowany do problemu odwracania macierzy oraz Jednak w praktyce algorytm ten może nie być dokładny.
Bibliografia
- Z. Fuzhen, The Schur Complement and Its Applications, Springer, 2005, ISBN 0-387-24271-6.