Twierdzenie Stokesa

Twierdzenie Stokesa – twierdzenie mówiące, że cyrkulacja pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym konturze gładkim jest równa strumieniowi rotacji pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w teorii pól. Używane jest w mechanice płynów, równaniach Maxwella i wielu innych. Twierdzenia Greena i Ostrogradskiego-Gaussa można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa^[1].

Twierdzenie Stoksa ma źródła w pracach Ampère'a z 1826 roku. W jego standardowej postaci została opracowana przez Williama Thomsona jeszcze przed 1850 rokiem i przekazana G. G. Stokesowi, który opublikował je jako problem w egzaminach nagrody Smitha(inne języki) w 1854 roku. Nie jest wiadome, czy ktoś rozwiązał problem, ale jednym z uczestników był Maxwell, to właśnie on uzyskał informacje, że Stokes otrzymał twierdzenie od Thomsona. Pierwszy dowód twierdzenia został opublikowany przez Hermanna Hankela(inne języki) w 1861^[1].

Jeżeli ${\displaystyle \Sigma }$ jest płatem powierzchni w ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ a ${\displaystyle \partial \Sigma }$ jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego pola wektorowego ${\displaystyle F\colon =P{\vec {i}}+Q{\vec {j}}+R{\vec {k}},}$ (gdzie ${\displaystyle F\in C^{1}({\bar {\Sigma }})}$) mamy^[2]:

${\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }{\vec {F}}d({\vec {\partial \Sigma }})=\iint \limits _{\Sigma }\operatorname {rot} {\vec {F}}d{\vec {\Sigma }}.}$

Niech ${\displaystyle \Sigma =\{r(s,t),\,(s,t)\in D\},}$ gdzie ${\displaystyle r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t))}$ oraz ${\displaystyle r(D)=\Sigma .}$ Wówczas, wykorzystując regułę łańcuchową oraz wzór na całkę krzywoliniową (tu krzywą jest ${\displaystyle r(s,t)}$), otrzymujemy równość:

${\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\oint \limits _{\partial D}(P\circ r)(x'_{s}ds+x'_{t}dt).}$

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych ${\displaystyle Q}$ i ${\displaystyle R}$).

A więc z twierdzenia Greena mamy:

${\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial }{\partial s}}((P\circ r)x'_{t})-{\frac {\partial }{\partial t}}((P\circ r)x'_{s})\right)ds\,dt.}$

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz regułę łańcuchową i otrzymujemy:

${\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }Pdx=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial P}{\partial y}}(x'_{t}y'_{s}-x'_{s}y'_{t})+{\frac {\partial P}{\partial z}}(x'_{t}z'_{s}-x'_{s}z'_{t})\right)ds\,dt.}$

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych ${\displaystyle Q}$ i ${\displaystyle R}$ i wyniki zsumujemy, otrzymamy:

${\displaystyle \oint \limits _{\,\partial \Sigma }{\vec {F}}d({\vec {\partial \Sigma }})=\iint \limits _{D}(\operatorname {rot} F(s,t))\circ {\vec {n}}(s,t)ds\,dt,}$

gdzie ${\displaystyle {\vec {n}}(s,t)=r'_{s}\times r'_{t}.}$

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego ${\displaystyle \operatorname {rot} F}$ przez płat ${\displaystyle \Sigma .}$ Co daje tezę.

Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla ${\displaystyle n}$-wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że ${\displaystyle H\subseteq \mathbb {R} ^{N}}$ jest orientowalną powierzchnią gładką, ${\displaystyle K\subseteq H}$ jest zbiorem zwartym oraz ${\displaystyle K=\operatorname {cl\,Int} K}$ oraz że brzeg ${\displaystyle \mathrm {Fr} K}$ jest ${\displaystyle (M\!-\!1)}$-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli ${\displaystyle W\subseteq \mathbb {R} ^{N}}$ jest zbiorem otwartym zawierającym powierzchnię ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle \Omega \colon W\to S^{M-1}(\mathbb {R} ^{N},\mathbb {R} )}$ jest formą klasy ${\displaystyle C^{1},}$ a ${\displaystyle \sigma }$ jest orientacją powierzchni ${\displaystyle H,}$ to

${\displaystyle {}\,\int \limits _{[K]_{\sigma }}d\Omega =\int \limits _{[\mathrm {Fr} K]_{\sigma ^{\mathrm {Fr} }}}\Omega ,}$

gdzie orientacja ${\displaystyle \sigma ^{\rm {Fr}}}$ powierzchni ${\displaystyle \mathrm {Fr} K}$ dana jest wzorem

${\displaystyle \sigma ^{\mathrm {Fr} }(y)=\{(a_{1},\dots ,a_{M-1})\in B_{(\mathrm {Fr} K)_{y}}\colon \,(z(y),a_{1},\dots ,a_{M-1})\in \sigma (y)\}}$

dla ${\displaystyle y\in \mathrm {Fr} K,}$ a

${\displaystyle z\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{N}}$

jest taką funkcją, że ${\displaystyle z(y)}$ jest wektorem zewnętrznym do zbioru ${\displaystyle K}$ w punkcie ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle |z(y)|=1,}$ ${\displaystyle z(y)}$ jest wektorem normalnym do powierzchni ${\displaystyle \mathrm {Fr} K}$ w punkcie ${\displaystyle y}$ dla każdego ${\displaystyle y\in \mathrm {Fr} K.}$

Załóżmy, że ${\displaystyle W\subseteq \mathbb {R} ^{N}}$ jest zbiorem otwartym, ${\displaystyle K\subseteq W}$ zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg ${\displaystyle \mathrm {Fr} K}$ jest ${\displaystyle (N\!-\!1)}$-wymiarową powierzchnią gładką oraz

${\displaystyle z\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{N}}$

jest funkcją o własnościach

• ${\displaystyle z(y)}$ jest wektorem zewnętrznym do ${\displaystyle K}$ w punkcie ${\displaystyle y,}$
• ${\displaystyle |z(y)|=1,}$
• ${\displaystyle z(y)}$ jest wektorem normalnym do ${\displaystyle \mathrm {Fr} K}$ w punkcie ${\displaystyle y}$ leżącym na brzegu ${\displaystyle \mathrm {Fr} K.}$

Jeżeli ${\displaystyle \omega \colon W\to \mathbb {R} ^{N}}$ jest funkcją klasy ${\displaystyle C^{1},}$ to

${\displaystyle {}\,\int \limits _{\mathrm {Fr} (K)}\omega (y)z(y)\mu _{\mathrm {Fr} }(dy)=\int \limits _{K}\operatorname {div} \omega (y)dy,}$

gdzie ${\displaystyle \operatorname {div} }$ oznacza operator dywergencji.

 Osobny artykuł: Twierdzenie Greena.

Załóżmy, że ${\displaystyle W\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$ jest zbiorem otwartym, ${\displaystyle K\subset W}$ jest zbiorem zwartym takim, że ${\displaystyle K=\operatorname {cl\,Int} K}$ oraz brzeg ${\displaystyle \mathrm {Fr} K}$ jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto

${\displaystyle s\colon \mathrm {Fr} K\to \mathbb {R} ^{2}}$

jest funkcją o własnościach

• ${\displaystyle s(y)}$ jest wektorem stycznym do krzywej ${\displaystyle \mathrm {Fr} K}$ w punkcie ${\displaystyle y,}$
• ${\displaystyle |s(y)|=1,}$
• ${\displaystyle \det[z(y),s(y)]>0.}$

gdzie ${\displaystyle z(y)}$ jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy ${\displaystyle N=2}$). Jeżeli ${\displaystyle \omega =(\omega _{1},\omega _{2})\colon W\to \mathbb {R} ^{2}}$ jest funkcją klasy ${\displaystyle C^{1},}$ to

${\displaystyle {}\,\int \limits _{\mathrm {Fr} (K)}\omega (y)s(y)\mu _{\mathrm {Fr} }(dy)=\int \limits _{K}(\omega _{2|1}(y)-\omega _{1|2}(y))dy.}$

• Jerzy Juliusz Kijowski, Twierdzenie Stokesa, kanał Centrum Fizyki Teoretycznej PAN na YouTube, 18 maja 2021 [dostęp 2021-05-23].
• Stokes theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].