Twierdzenie Lagrange’a (teoria grup)
![]() | Ten artykuł dotyczy teorii grup. Zobacz też: inne twierdzenia Lagrange’a. |
Twierdzenie Lagrange’a – twierdzenie teorii grup mówiące, że w grupie skończonej rząd dowolnej jej podgrupy jest dzielnikiem rzędu grupy, tzn. zachodzi równość
gdzie oznacza indeks podgrupy w zaś odpowiednio rząd grupy i podgrupy[1][2].
Wynik nosi nazwisko Josepha Louisa Lagrange’a.
Dowód
Zobacz też: warstwa § Własności.
Niech będzie grupą skończoną. Zbiór warstw lewostronnych grupy względem podgrupy stanowi rozbicie zbioru na równolicznych ze zbiorem zbiorów:
W ten sposób
a skoro poszczególne warstwy są rozłączne, to
przy czym wszystkie warstwy są równoliczne z co oznacza, że
zatem
Wnioski i uwagi
- Rząd dowolnego elementu grupy jest dzielnikiem rzędu grupy (wynika to wprost z definicji rzędu). W szczególności, dla dowolnego elementu danej grupy prawdziwa jest równość gdzie jest elementem neutralnym grupy, a oznacza jej rząd.
- Jeżeli rząd grupy jest liczbą pierwszą, to jest ona grupą cykliczną.
- Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a nie jest prawdziwe, tzn. nie gwarantuje, że dla każdego dzielnika rzędu grupy istnieje podgrupa, której rząd jest równy danemu dzielnikowi.
- Najmniejszym przykładem jest grupa alternująca Choć dzielnikami rzędu grupy są to grupa zawiera jako podgrupy wyłącznie: -elementową grupę trywialną, trzy -elementowe i cztery -elementowe grupy cykliczne, -elementową grupę niecykliczną oraz -elementową grupę niewłaściwą; w szczególności nie ma podgrupy -elementowej.
- Częściowym rozwiązaniem problemu istnienia podgrup danego rzędu są twierdzenie Cauchy’ego oraz twierdzenia Sylowa. W ogólności nie ma prostego sposobu na podział grup skończonych na te, które spełniają twierdzenie odwrotne i te, które go nie spełniają. Można jednak wyróżnić trzy klasy grup skończonych, które spełniają twierdzenie odwrotne: grupy abelowe, grupy diedralne i grupy pierwsze (są one przypadkami szczególnymi grup superrozwiązalnych, dla których twierdzenie odwrotne do twierdzenia Lagrange’a zachodzi).
- Twierdzenie to rozumiane jako stwierdzenie o liczbach kardynalnych jest równoważne aksjomatowi wyboru.
Uogólnienia
- Twierdzenie
- Jeżeli jest skończona oraz to zachodzi
- Dowód
- Z twierdzenia Lagrange’a wynika, że
- oraz
- skąd
Zobacz też
- twierdzenie Cauchy’ego
- twierdzenia Sylowa
Przypisy
- ↑ Twierdzenie 13.8. W: Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004, s. 265–266. ISBN 978-83-89020-35-2.
- ↑ Twierdzenie 4.8. W: Andrzej Białynicki-Birula: Algebra. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2009, s. 232. ISBN 978-83-01-15817-0.
- Catalana: 0036316