Twierdzenie Banacha-Alaoglu

Twierdzenie Banacha-Alaoglu (także twierdzenie Alaoglu[1], twierdzenie Banacha-Alaoglu-Bourbakiego lub twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego) – w analizie funkcjonalnej twierdzenie mówiące, że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest zwarta w *-słabej topologii; bądź ogólniej, zbiór polarny otoczenia zera przestrzeni liniowo-topologicznej jest *-słabo zwarty.

Nazwa twierdzenia honoruje polskiego matematyka Stefana Banacha, który opublikował jego szczególny przypadek (dla ośrodkowych przestrzeni unormowanych) w 1932 roku oraz kanadyjskiego matematyka Leonidasa Alaoglu, który opublikował w 1940 roku[2] pierwszy dowód przypadku ogólnego[3][4].

Twierdzenie Banacha-Alaoglu

Najczęściej stosowaną wersją twierdzenia Banacha-Alaoglu jest ta dotycząca zwartości kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej.

Dla przestrzeni unormowanych

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas kula jednostkowa w przestrzeni X ∗ , {\displaystyle X^{*},} tj. zbiór

B X ∗ = { f ∈ X ∗ : ‖ f ‖ ⩽ 1 } , {\displaystyle B_{X^{*}}=\{f\in X^{*}:\|f\|\leqslant 1\},}

jest zwarta w *-słabej topologii przestrzeni X ∗ . {\displaystyle X^{*}.}

Wersja ta jest bezpośrednią konsekwencją następującej wersji twierdzenia dla przestrzeni liniowo-topologicznych z uwagi na to, że norma w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej wyraża się wzorem:

‖ f ‖ = sup { | ⟨ f , x ⟩ | : x ∈ B X } , {\displaystyle \|f\|=\sup\{|\langle f,x\rangle |:x\in B_{X}\},}

tj.

( B X ) ∘ = B X ∗ {\displaystyle (B_{X})^{\circ }=B_{X^{*}}}

w sensie notacji wprowadzonej niżej.

Dla przestrzeni liniowo-topologicznych

Niech X {\displaystyle X} będzie przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech U {\displaystyle U} będzie otoczeniem zera w X . {\displaystyle X.} Wówczas zbiór

U ∘ = { f ∈ X ⋆ : | ⟨ f , x ⟩ | ⩽ 1 , x ∈ U } {\displaystyle U^{\circ }=\{f\in X^{\star }:|\langle f,x\rangle |\leqslant 1,\,x\in U\}}

jest zwarty w *-słabej topologii X ∗ . {\displaystyle X^{*}.}

Dowód[5]. Dla każdego f ∈ U ∘ , {\displaystyle f\in U^{\circ },} obraz f ( U ) {\displaystyle f(U)} zawiera się w kole domkniętym

D = { z ∈ C : | z | ⩽ 1 } . {\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|\leqslant 1\}.}

Każdemu funkcjonałowi f ∈ U ∘ {\displaystyle f\in U^{\circ }} odpowiada zatem punkt ψ ( f ) {\displaystyle \psi (f)} przestrzeni produktowej G = D U , {\displaystyle G=D^{U},} która jest zwarta na mocy twierdzenia Tichonowa. Ponieważ *-słaba topologia w U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} jest topologią zbieżności punktowej na U , {\displaystyle U,} wystarczy pokazać, że zbiór punktów G {\displaystyle G} odpowiadających funkcjonałom z U ∘ , {\displaystyle U^{\circ },} tj. zbiór ψ ( U ∘ ) , {\displaystyle \psi (U^{\circ }),} jest domknięty. (Istotnie, domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty).

Niech ( f γ ) {\displaystyle (f_{\gamma })} będzie siecią elementów z U ∘ {\displaystyle U^{\circ }} o tej własności, że sieć ψ ( f γ ) {\displaystyle \psi (f_{\gamma })} jest zbieżna punktowo do pewnego F ∈ G . {\displaystyle F\in G.} Jeżeli x , y {\displaystyle x,y} są takimi elementami U {\displaystyle U} oraz a , b {\displaystyle a,b} są takimi skalarami, że a x + b y ∈ U , {\displaystyle ax+by\in U,} to

F ( a x + b y ) = lim γ ψ ( f γ ) ( a x + b y ) = lim γ ⟨ f γ , a x + b y ⟩ = lim γ ( a ⟨ f γ , x ⟩ + b ⟨ f γ , y ⟩ ) = a F ( x ) + b F ( y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}F(ax+by)&=\lim _{\gamma }\psi (f_{\gamma })(ax+by)\\&=\lim _{\gamma }\langle f_{\gamma },ax+by\rangle \\&=\lim _{\gamma }{\big (}a\langle f_{\gamma },x\rangle +b\langle f_{\gamma },y\rangle {\big )}\\&=aF(x)+bF(y).\end{aligned}}}

Oznacza to, że F {\displaystyle F} odpowiada funkcjonałowi f {\displaystyle f} z U ∘ , {\displaystyle U^{\circ },} tj. F = ψ ( f ) , {\displaystyle F=\psi (f),} co dowodzi domkniętości zbioru ψ ( U ∘ ) {\displaystyle \psi (U^{\circ })} w G . {\displaystyle G.}

Twierdzenie Alaoglu-Bourbakiego

Istnieje również następująca abstrakcyjna wersja twierdzenia, nazywana czasem twierdzeniem Alaoglu-Bourbakiego[6].

Niech ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} będzie parą dualną przestrzeni liniowo-topologicznych. Wówczas każdy podzbiór Y {\displaystyle Y} złożony z X {\displaystyle X} -równociągłych elementów jest relatywnie zwarty w topologii σ ( Y , X ) . {\displaystyle \sigma (Y,X).}

Twierdzenie Banacha-Alaoglu a aksjomat wyboru

Przedstawiony wyżej dowód opiera się o twierdzenie Tichonowa, a więc wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru. Halpern i Levy udowodnili[7], że na gruncie teorii ZF następujące zdania są równoważne:

W szczególności, nie można zrezygnować z pewnej formy aksjomatu wyboru w dowodzie twierdzenia Banacha-Alaoglu, ale pełna siła tego aksjomatu nie jest wymagana.


Przypisy

  1. ↑ Musielak 1989 ↓, s. 219–221.
  2. ↑ L. Alaoglu, Weak topologies of normed linear spaces, „Ann. of Math” (2) 41, (1940), s. 252–267.
  3. ↑ Diestel 1984 ↓, s. 16.
  4. ↑ Megginson 1998 ↓, s. 229.
  5. ↑ Diestel 1984 ↓, s. 13–14.
  6. ↑ Wilansky 2013 ↓, s. 130.
  7. ↑ J.D. Halpern, A. Levy, The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice, Axiomatic Set Theory Part 1, Proc. Symp. Pure Math. Vol. 13 (1971), 83–134.

Bibliografia

  • Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1989.
  • Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.
  • Albert Wilansky: Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, 2013.