Regularyzacja funkcją dzeta

Regularyzacja funkcją dzeta – rodzaj regularyzacji lub metoda sumowania, która przypisuje skończone wartości dla rozbieżnych szeregów lub iloczynów. Sposób ten jest obecnie powszechnie stosowany do rozwiązywania problemów fizycznych, lecz pierwotnie wywodzi się z prób nadania dokładnych znaczeń dla źle uwarunkowanych sum w teorii liczb.

Istnieje wiele różnych metod sumowania określanych mianem regularyzacji funkcją dzeta stosowanych do obliczenia wartości potencjalnie rozbieżnych szeregów ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\ldots }$

Jedną z metod jest zdefiniowanie sumy regularyzowanej funkcją dzeta jako ${\displaystyle \zeta _{A}(-1),}$ gdzie funkcja dzeta jest zdefiniowana dla dużych ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)}$ jako

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\ldots }$

dla ${\displaystyle s}$ w których ten szereg jest zbieżny, lub stosując przedłużenie analityczne tej funkcji dla pozostałych wartości. W przypadku gdy ${\displaystyle a_{n}=n}$ zastosowana funkcja dzeta staje się zwykłą funkcją dzeta Riemanna. Taką metodę zastosował Euler do „zsumowania” szeregu 1 + 2 + 3 + 4 + …, obliczając ${\displaystyle \zeta (-1)=-1/12.}$

Inną metodą jest zdefiniowanie potencjalnie rozbieżnego iloczynu ${\displaystyle a_{1}a_{2}\ldots }$ jako ${\displaystyle \exp(-\zeta '_{A}(0)).}$ Ray i Sinker^[1] zastosowali tę metodę aby określić wyznacznik dodatniego operatora ${\displaystyle A}$ (laplasjanu rozmaitości riemannowskiej w ich zastosowaniu) z wartościami własnymi ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ W tym konkretnym przypadku funkcja dzeta jest formalnie śladem ${\displaystyle A^{-s}.}$

Przykładem zastosowania regularyzacji funkcją dzeta jest wyznaczenie wartości oczekiwanej energii próżni w kwantowej teorii pola. Uogólniając, funkcją dzeta można zastosować do regularyzacji całego tensora napięć-energii w zakrzywionej czasoprzestrzeni^[2][3].

Nieuregulowana wartość energii jest wyznaczona jako suma wszystkich stanów wzbudzonych energii punktu zerowego:

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}},}$

w którym ${\displaystyle T_{00}}$ jest zerowym składnikiem tensora napięć a suma (która może być całką) jest rozumiana jako rozszerzenie na wszystkie (dodatnie i ujemne) stany energetyczne ${\displaystyle \omega _{n};}$ moduł podkreśla, że liczona jest energia całkowita. Suma ta, zapisana w tej postaci, jest zazwyczaj nieskończona (typowo ${\displaystyle \omega _{n}}$ jest w zależności liniowej z ${\displaystyle n}$). Może ona być uregularyzowana przez zapisanie jako

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s},}$

gdzie ${\displaystyle s}$ jest jakimś parametrem w dziedzinie liczb zespolonych. Dla liczb rzeczywistych ${\displaystyle s}$ większych niż 4 (dla przestrzeni trójwymiarowej), suma ta staje się skończona, a więc często może być wyliczona teoretycznie.

Taka suma ma zwykle biegun dla ${\displaystyle s=4,}$ z powodu masowego udziału pola kwantowego w przestrzeni trójwymiarowej. Jednak, dzięki przedłużeniu analitycznemu udaje się uzyskać wartości dla ${\displaystyle s=0,}$ w którym funkcja już bieguna nie ma, a więc wartość wyrażenia jest skończona. Szczegółową analizę tego rozwiązania można znaleźć w pracach na temat efektu Casimira.

• funkcja tworząca
• renormalizacja
• szereg 1 + 1 + 1 + 1 + …