Przedłużenie analityczne

Rozszerzenie analityczne – metoda rozszerzająca dziedzinę danej funkcji analitycznej. Dzięki tej metodzie udaje się uzyskać więcej rozwiązań z funkcji, która np. w typowym rozwinięciu w szereg nieskończony jest rozbieżna lub nieciągła w zadanym początkowo otoczeniu.

Definicja

Dane są dwie funkcje analityczne określone na obszarach D 1 {\displaystyle D_{1}} i D 2 : {\displaystyle D_{2}{:}}

f 1 : D 1 → V 1 , {\displaystyle f_{1}\colon D_{1}\to V_{1},}
f 2 : D 2 → V 2 . {\displaystyle f_{2}\colon D_{2}\to V_{2}.}

Jeśli istnieje niepusty zbiór U = D 1 ∩ D 2 {\displaystyle U=D_{1}\cap D_{2}} taki, że

  1. U {\displaystyle U} jest obszarem,
  2. dla każdego z ∈ U {\displaystyle z\in U} zachodzi równość f 1 ( z ) = f 2 ( z ) , {\displaystyle f_{1}(z)=f_{2}(z),}

to można powiedzieć, że f 2 {\displaystyle f_{2}} jest rozszerzeniem analitycznym f 1 {\displaystyle f_{1}} i odwrotnie.

Zastosowanie

Popularnym sposobem na definiowanie funkcji w analizie zespolonej jest jej określenie na niewielkim obszarze, a następnie jej poszerzenie przez zastosowanie przedłużenia analitycznego. W praktyce takie rozszerzenie jest wykonywane przez ustanowienie równania funkcyjnego na niewielkiej dziedzinie, które następnie jest zastosowane do rozszerzenia dziedziny. Przykładami mogą być funkcja dzeta Riemanna[1] i funkcja Γ[2].

Początkowo zostało wprowadzone pojęcie przestrzeni nakrywającej aby zdefiniować naturalną dziedzinę przedłużenia analitycznego funkcji analitycznej. Pomysł znalezienia największego przedłużenia analitycznego funkcji doprowadził z kolei do rozwoju idei powierzchni Riemanna.

Przykład

Szereg geometryczny

Rozważmy funkcję

f 1 ( z ) = 1 + z + z 2 + … = ∑ n = 0 ∞ z n . {\displaystyle f_{1}(z)=1+z+z^{2}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}.}

W klasycznym ujęciu przedstawia ona sumę szeregu geometrycznego o ilorazie z . {\displaystyle z.} Z warunku zbieżności szeregu geometrycznego wynika, że funkcja jest określona tylko dla wartości:

d o m ( f 1 ) = D 1 = { z ∈ C : | z | < 1 } . {\displaystyle \mathrm {dom} (f_{1})=D_{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}.}

Z drugiej strony sumę zbieżnego szeregu geometrycznego o ilorazie z {\displaystyle z} możemy zapisać jako

f 2 ( z ) = 1 1 − z , {\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{1-z}},}

która jest określona dla wszystkich liczb zespolonych z {\displaystyle z} oprócz liczby 1:

d o m ( f 2 ) = D 2 = C ∖ { 1 } . {\displaystyle \mathrm {dom} (f_{2})=D_{2}=\mathbb {C} \setminus \{1\}.}

Na obszarze D 1 ∩ D 2 = D 1 {\displaystyle D_{1}\cap D_{2}=D_{1}} obie funkcje są sobie równe, więc funkcję f 2 {\displaystyle f_{2}} możemy traktować jako przedłużenie analityczne funkcji f 1 {\displaystyle f_{1}} na obszar C ∖ { 1 } {\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{1\}} [3].

Wyniki uzyskiwane za pomocą funkcji f 2 {\displaystyle f_{2}} teoretycznie umożliwiają obliczenie wartości szeregów rozbieżnych, np.:

1 − 1 + 1 − 1 + … = f 1 ( − 1 ) = f 2 ( − 1 ) = 1 1 − ( − 1 ) = 1 2 , {\displaystyle 1-1+1-1+\ldots =f_{1}(-1)=f_{2}(-1)={\frac {1}{1-(-1)}}={\frac {1}{2}},}
1 + 2 + 4 + 8 + … = f 1 ( 2 ) = f 2 ( 2 ) = 1 1 − 2 = − 1. {\displaystyle 1+2+4+8+\ldots =f_{1}(2)=f_{2}(2)={\frac {1}{1-2}}=-1.}

W takich przypadkach problemem jest odpowiednia interpretacja wyników.

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ Przedłużenie analityczne funkcji Zeta Riemanna na PlanetMath. (ang.).
  2. ↑ Przedłużenie analityczne funkcji Gamma na PlanetMath. (ang.).
  3. ↑ Wójcik 2010 ↓, s. 5.

Bibliografia

  • MarcinM. Wójcik MarcinM., Przedłużenie analityczne Powierzchnia Riemanna [online], Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej AGH, 25 stycznia 2010 [zarchiwizowane z adresu 2013-04-06] .

Linki zewnętrzne

  • Przedłużenie analityczne na PlanetMath. (ang.)
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Przedłużenie analityczne, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). (ang.)