Półgrupa cykliczna

Półgrupa cykliczna (a. monogeniczna) – półgrupa mająca jednoelementowy zbiór generatorów. Innymi słowy taka półgrupa ${\displaystyle (S,\cdot ),}$ że

${\displaystyle S=\langle a\rangle }$

dla pewnego ${\displaystyle a\in S,}$ tj. istnieje element ${\displaystyle a\in S}$ o tej własności, że dla każdego ${\displaystyle y\in S}$ istnieje taka liczba naturalna ${\displaystyle n,}$ że

${\displaystyle y=a^{n}.}$

• Każda nieskończona półgrupa cykliczna jest izomorficzna z półgrupą dodatnich liczb całkowitych z mnożeniem.
• Dla każdej skończonej półgrupy cyklicznej ${\displaystyle S=\langle a\rangle }$ istnieje najmniejsza liczba naturalna ${\displaystyle m,}$ nazywana indeksem półgrupy S, o tej własności, że ${\displaystyle a^{n}=a^{m}}$ dla pewnego ${\displaystyle n>m.}$ Istnieje także najmniejsza liczba ${\displaystyle r,}$ nazywana okresem półgrupy S, dla której ${\displaystyle a^{m}=a^{m+r}.}$ Dla każdej pary liczb naturalnych (${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle r}$) istnieje skończona półgrupa cykliczna o indeksie ${\displaystyle m}$ i okresie ${\displaystyle r.}$

• Peter M. Higgins, Techniques of semigroup theory, Oxford University Press, 1992. ISBN 978-0-19-853577-5.