Miara zupełna

Miara zupełna – miara ${\displaystyle \mu }$ określona na przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ jest zupełna, gdy podzbiory zbiorów miary zero są mierzalne (a więc i w konsekwencji również miary zero). Innymi słowy, jeśli ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle \mu (A)=0}$ i ${\displaystyle E\subseteq A,}$ to ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}.}$

Twierdzenie o rozszerzeniu miary mówi, że dla każdej miary ${\displaystyle \mu }$ określonej na przestrzeni mierzalnej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})}$ istnieje taka miara zupełna ${\displaystyle \nu }$ określona na najmniejszym σ-ciele zawierającym ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ i wszystkie podzbiory zbiorów miary ${\displaystyle \mu }$-zero, która pokrywa się z ${\displaystyle \mu }$ na ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

• Miara Lebesgue’a i miara Dieudonnégo są zupełne.
• Przykładem miary, która nie jest zupełna jest miara Lebesgue’a obcięta do rodziny zbiorów borelowskich na prostej.
• Miara produktowa miar zupełnych nie musi być miarą zupełną: jeżeli ${\displaystyle V}$ jest niemierzalnym podzbiorem prostej (względem miary Lebesgue’a ${\displaystyle l_{1}}$), to zbiór ${\displaystyle \{1\}\times V}$ zawarty jest w zbiorze ${\displaystyle \{1\}\times \mathbb {R} }$ dla którego ${\displaystyle (l_{1}\otimes l_{1})(\{1\}\times \mathbb {R} )=0\cdot \infty =0,}$ ale sam zbiór ${\displaystyle \{1\}\times V}$ nie jest ${\displaystyle (l_{1}\otimes l_{1})}$-mierzalny.

• przestrzeń metryczna
• przestrzeń zupełna
• zupełność