Macierz Vandermonde’a – macierz kwadratowa
postaci:
![{\displaystyle A=\left({\begin{matrix}1&x_{1}&x_{1}^{2}&\cdots &x_{1}^{n-1}\\1&x_{2}&x_{2}^{2}&\cdots &x_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd29ca2064d29479fbaba3806a57e9fcffa53aac)
Wyznacznik tej macierzy nazywany jest wyznacznikiem Vandermonde’a i jest wielomianem postaci:
![{\displaystyle \det A=\prod _{1\leqslant i<j\leqslant n}(x_{j}-x_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a6b7d5e5b2545c2c60e2c1307dbfee35cff386d)
Przykład: Macierz
![{\displaystyle A=\left({\begin{matrix}1&1&1&1\\1&2&4&8\\1&3&9&27\\1&4&16&64\end{matrix}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c9490f3a2fd6e9e24cdb5edbb1637f8a1e3213b)
jest macierzą Vandermonde’a. Jej wyznacznik jest równy
![{\displaystyle \det A=(x_{2}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{1})\cdot (x_{4}-x_{1})\cdot (x_{3}-x_{2})\cdot (x_{4}-x_{2})\cdot (x_{4}-x_{3})=1\cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1=12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/289dae21d3e09308fa3ea99ff666fec4b29708be)
Jednoznaczność wielomianu interpolacyjnego
Macierz Vandermonde’a pozwala udowodnić następujące twierdzenie o jednoznaczności wielomianu interpolacyjnego: Dla dowolnego zbioru różnych punktów:
istnieje dokładnie jeden wielomian
o stopniu mniejszym niż
i taki, że dla każdego
Dowód:
Ponieważ punkty są różne, to wyznacznik macierzy Vandermonde’a stworzonej z punktów
jest różny od 0, więc macierz jest odwracalna. Niech
oznacza tę macierz. Rozwiązanie układu równań:
![{\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})^{T}=V^{-1}(y_{0},y_{1},\dots ,y_{n-1})^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce7e6f373dc81cdb0508b073718985aabdc9a169)
pozwala na wyliczenie współczynników wielomianu.
Stosując metodę eliminacji Gaussa można rozwiązać ten układ w czasie
Zastosowanie postaci Lagrange’a wielomianu interpolacyjnego
![{\displaystyle W(x)=\sum _{k=0}^{n-1}y_{k}{\frac {\prod _{i\neq k}(x-x_{i})}{\prod _{i\neq k}(x_{k}-x_{i})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4633ea601f60b23231868f5e21c75f3fc2ef3d48)
pozwala na wykonanie tego w czasie
Zobacz też
- interpolacja
- macierz odwrotna
- macierz transponowana
- metoda eliminacji Gaussa
- metoda LU
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Vandermonde Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).