Liniowa nierówność macierzowa

Ten artykuł od 2012-01 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Liniowa nierówność macierzowa (ang. linear matrix inequality, LMI) – termin stosowany w teorii sterowania i optymalizacji.

W optymalizacji wypukłej liniowa nierówność macierzowa dana jest następującym wyrażeniem:

${\displaystyle \operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\ldots +y_{m}A_{m}\geqslant 0,}$

gdzie:

• ${\displaystyle y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]}$ jest wektorem liczb rzeczywistych,
• ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$ o wymiarach ${\displaystyle n\times n}$ są macierzami symetrycznymi ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n},}$
• ${\displaystyle B\geqslant 0}$ to uogólniona nierówność, która oznacza, że ${\displaystyle B}$ jest macierzą półokreśloną dodatnio należącą do stożka półokreślonego dodatnio ${\displaystyle \mathbb {S} _{+}}$ w podprzestrzeni macierzy symetrycznych ${\displaystyle \mathbb {S} .}$

Liniowa nierówność macierzowa określa ograniczenia wypukłe na ${\displaystyle y.}$

Istnieją efektywne metody numeryczne pozwalające na określenie czy liniowa nierówność macierzowa jest dopuszczalna (to znaczy czy istnieje taki wektor ${\displaystyle y,}$ że ${\displaystyle LMI(y)\geqslant 0}$) albo dające rozwiązanie problemu optymalizacji wypukłej z ograniczeniami dla liniowej nierówności macierzowej.

Wiele problemów optymalizacji w teorii sterowania, identyfikacji układów i przetwarzaniu sygnałów można sformułować z wykorzystaniem liniowej nierówności macierzowej. Nierówności te znajdują również zastosowanie w wielomianach będących sumą kwadratów. Prototypiczne prymalne i dualne programowanie półokreślone stanowi minimalizację rzeczywistej funkcji liniowej podlegającą odpowiednio prymalnemu i dualnemu stożkowi wypukłemu, który określa te nierównościami.

Największe osiągnięcia optymalizacji wypukłej związane są z wprowadzeniem metod punktu wewnętrznego. Metody te, rozwinięte w szeregu publikacji, stały się przedmiotem zainteresowania w kontekście problemów LMI.