Lemat Riesza
![]() | Zobacz też: twierdzenie Riesza. |
Lemat Riesza – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że jeżeli jest właściwą, domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej to dla każdego istnieje taki element że
oraz
dla wszelkich Innymi słowy
gdzie oznacza odległość punktu od podprzestrzeni
Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w 1918 przez Frigyesa Riesza w przypadku przestrzeni Hilberta[1]. Udowodniono również wersję lematu Riesza dla przestrzeni nad ciałami z nietrywialnymi waluacjami rzędu 1[2].
Dowody
- Ponieważ jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że jest ona zawarta w jądrze funkcjonału liniowego o normie 1 na przestrzeni tj. dla wszelkich Niech będzie takim elementem o normie 1, że Wówczas
- co kończy dowód[3].
- Niech oraz niech
- Ponieważ podprzestrzeń jest domknięta, Z definicji infimum wynika istnienie takiego elementu że
- Niech gdzie
- Wówczas ma normę 1. Ponadto, dla każdego
- W szczególności,
- a zatem
- Stąd,
- co kończy dowód[4].
Uwagi
- W przypadku gdy jest przestrzenią refleksywną, teza lematu Riesza zachodzi również dla Rzeczywiście, podprzestrzeń jest zawarta w jądrze funkcjonału o normie 1, ale funkcjonały liniowe i ciągłe na przestrzeniach refleksywnych osiągają swoją normę, tj. dla danego o normie 1, istnieje taki element że Wówczas
- Prawdziwość tezy lematu Riesza dla = 1 charakteryzuje przestrzenie refleksywne. Rzeczywiście, jeżeli jest przestrzenią nierefleksywną to z twierdzenia Jamesa wynika istnienie takiego funkcjonału na o normie 1, który nie osiąga swojej normy. Niech będzie jądrem Wówczas jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni Ponieważ nie osiąga swojej normy, nie istnieje żaden taki element o normie 1, że [5].
- Ze zwartości kuli jednostkowej w skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej wynika, że teza lematu Riesza zachodzi w przypadku, gdy podprzestrzeń jest skończenie wymiarowa. Rzeczywiście, podprzestrzeń jest domknięta, będąc skończenie wymiarową podprzestrzenią Niech Wówczas Stąd Wynika stąd istnienie takiego ciągu elementów przestrzeni że
- Ponieważ ciąg jest ograniczony, a skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika istnienie podciągu ciągu który jest zbieżny do pewnego Niech Wówczas
- Ponadto, co kończy dowód[6][7].
- Wzmocnieniem tak sformułowanej wersji lematu Riesza jest twierdzenie Krejna-Krasnoselskiego-Milmana.
Zastosowanie: niezwartość kuli jednostkowej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej
Lemat Riesza używa się do dowodu następującej charakteryzacji skończenie wymiarowych przestrzeni unormowanych:
- Przestrzeń unormowana jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula jednostkowa jest zwarta.
Zwartość kul w przestrzeniach skończenie wymiarowych wynika z twierdzenia Heinego-Borela. Implikację przeciwną dowodzi się przez kontrapozycję, używając lematu Riesza.
- Niech będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną oraz niech będzie wektorem o normie 1. Z lematu Riesza zastosowanego do wynika istnienie takiego wektora jednostkowego że Niech Z lematu Riesza zastosowanego do wynika istnienie takiego wektora jednostkowego że Kontynuując ten proces rekurencyjnie, otrzymuje się ciąg wektorów jednostkowych w o tej własności, że odległości pomiędzy różnymi wyrazami tego ciągu wynoszą co najmniej 1/2. Ciąg ten zatem nie ma podciągu zbieżnego, a więc kula jednostkowa przestrzeni nie jest zwarta[6][8].
Wzmocnieniami udowodnionego wyżej wniosku z lematu Riesza są twierdzenie Kottmana i twierdzenie Eltona-Odella.
Przypisy
- ↑ Frigyes Riesz, Über lineare Funktionalgleichungen, „Acta Math.”, 41 (1918), s. 71–98.
- ↑ Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Riesz’s Lemma in Non-Archimedean Spaces, „J. London Math. Soc.” 3 (1971), s. 501–506.
- ↑ Megginson 1998 ↓, s. 325.
- ↑ Kreyszig 1989 ↓, s. 79–80.
- ↑ Diestel 1984 ↓, s. 6.
- ↑ a b Kreyszig 1989 ↓, s. 82.
- ↑ Wong 1992 ↓, s. 27.
- ↑ Wong 1992 ↓, s. 27–28.
Bibliografia
- Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
- Erwin Kreyszig: Introductory functional analysis with applications. New York: John Wiley & Sons Inc., 1989.
- Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
- Yau-Chuen Wong: Introductory Theory of Topological Vector Spaces. New York, Basel, Hong-Kong: CRC Press, 1992, seria: Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics. ISBN 978-0-8247-8779-0.